#LyX 1.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 221 \textclass book \begin_preamble \usepackage{hyperref} \end_preamble \language spanish \inputencoding latin1 \fontscheme default \graphics default \paperfontsize default \spacing single \papersize a4paper \paperpackage widemarginsa4 \use_geometry 0 \use_amsmath 0 \use_natbib 0 \use_numerical_citations 0 \paperorientation portrait \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \defskip medskip \quotes_language english \quotes_times 2 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \layout Title El número de oro \begin_inset Foot collapsed true \layout Standard Práctica final del curso Guadalinex y aplicaciones didácticas (ED05-04-GLINEX) \end_inset \layout Author José Antonio Cobalea \layout Date \pagebreak_bottom Julio-Agosto de 2005 \layout Standard \begin_inset LatexCommand \tableofcontents{} \end_inset \layout Chapter Introducción \layout Standard Hay tres números de gran importancia en Matemáticas a los cuales nombramos con una letra. Estos números son: \layout Enumerate El número designado con la letra griega \begin_inset Formula $\pi$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset Pi \begin_inset Quotes erd \end_inset que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro: \begin_inset Formula $Longitud=\pi\cdot diametro$ \end_inset . \layout Enumerate El número \begin_inset Formula $e$ \end_inset , inicial del apellido de Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general: \begin_inset Formula $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ \end_inset . \layout Enumerate El número designado con la letra griega \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset Fi \begin_inset Quotes erd \end_inset , llamado \series bold número de oro ó número áureo \series default y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Corresponde a la solución positiva de la ecuación \begin_inset Formula $x^{2}=x+1$ \end_inset . Como veremos este número mide, entre otras, la relación que existe entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. \layout Standard Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son números decimales periódicos (no existe ningún grupo de cifras decimales que se repitan indefinid amente). A estos números se les llaman irracionales. Es imposible conocer todas las cifras de dichos números y cuando se utilizan se escriben únicamente unas cuantas cifras decimales (suficientes para la mayoría de los cálculos donde aparezcan). Por ejemplo: \layout Itemize \begin_inset Formula $\pi=3'14159...$ \end_inset \layout Itemize \begin_inset Formula $e\,=2'71828...$ \end_inset \layout Itemize \begin_inset Formula $\phi\,=1'61803...$ \end_inset \layout Standard \added_space_bottom medskip Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos números \begin_inset Formula $\left(\pi\, y\, e\right)$ \end_inset y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números que cumplen esta condición se les llama números trascendentes), mientras que el número \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset sí que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado \begin_inset Formula $x^{2}-x-1=0$ \end_inset es \begin_inset Formula $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \end_inset que da como resultado el número de oro. \layout Standard El número áureo no recibió su símbolo , \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset , hasta el siglo XX aunque su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (siglo V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón) y escultóricos. Fué seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos clásicos a su descubrimiento. \layout Chapter Ejemplos en las Matemáticas donde aparece \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset \layout Section La sección áurea y el número de oro \layout Standard \added_space_bottom medskip La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor como éste es a la totalidad del segmento (ó como decía Vitrubio: \begin_inset Quotes eld \end_inset Un segmento se dice que está dividido en media y extrema razón si de la parte pequeña a la parte grande hay la misma relación que de la grande al todo \begin_inset Quotes erd \end_inset ). Esta forma de seleccionar proporcionalmente un segmento se llama proporción áurea. \layout Standard \added_space_bottom medskip Tomemos un segmento de longitud la unidad y hagamos en él la división indicada anteriormente. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename segmento.gif scale 50 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Segmento unidad \end_inset \layout Standard Aplicando la proporción áurea obtendremos una ecuación que tendremos que resolver: \layout Standard \align center \begin_inset Formula $\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}\Rightarrow x^{2}=1-x\Rightarrow x^{2}+x-1=0$ \end_inset \layout Standard Una de cuyas soluciones (la positiva) vale: \layout Standard \align center \begin_inset Formula $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ \end_inset \layout Standard \added_space_bottom medskip Por tanto: \begin_inset Formula $1-x=1-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ \end_inset \layout Standard \added_space_bottom medskip Ahora, si dividimos la longitud del segmento mayor entre la del menor, obtendrem os: \layout Standard \begin_inset Formula $\frac{x}{1-x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}:\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{(-1+\sqrt{5})\cdot(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})\cdot(3+\sqrt{5})}=\frac{-3-\sqrt{5}+3\cdot\sqrt{5}+5}{9-5}$ \end_inset = \begin_inset Formula $\frac{2\cdot\sqrt{5}+2}{4}=\frac{2\cdot(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1'61803...$ \end_inset \layout Standard \added_space_bottom medskip que nos da el número de oro. \layout Standard Es decir, la relación entre la parte mayor y la parte menor en que dividimos el segmento es el número de oro. \layout Standard \added_space_top medskip Veamos cómo dividir un segmento dado \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset en media y extrema razón: \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename segm_aureo.jpg scale 60 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption División aúrea de un segmento \end_inset \layout Itemize \added_space_top medskip Se construye la perpendicular a \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset y que pasa por \begin_inset Formula $B$ \end_inset . \layout Itemize Hallamos el punto \begin_inset Formula $C$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $AB\,=\, BC$ \end_inset . \layout Itemize Construimos el punto medio del segmento \begin_inset Formula $\overline{BC}$ \end_inset y le llamamos \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \layout Itemize Construimos el segmento \begin_inset Formula $\overline{AD}$ \end_inset . \layout Itemize Con centro en \begin_inset Formula $D$ \end_inset y radio \begin_inset Formula $DB$ \end_inset calculamos el punto \begin_inset Formula $E$ \end_inset sobre \begin_inset Formula $\overline{AD}$ \end_inset . \layout Itemize Con centro en \begin_inset Formula $A$ \end_inset y radio \begin_inset Formula $AE$ \end_inset calculamos el punto \begin_inset Formula $P$ \end_inset sobre \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset . \layout Itemize El punto \begin_inset Formula $P$ \end_inset divide al segmento \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset en la razón áurea y el segmento \begin_inset Formula $\overline{AP}$ \end_inset es la sección áurea del segmento \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset . Además: \begin_deeper \layout Itemize \begin_inset Formula $\frac{\overline{AP}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AP}}=\phi$ \end_inset \end_deeper \layout Section El rectángulo áureo \layout Standard Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en el que la base y la altura están en proporción áurea. \layout Standard Para construirlo procedemos de la siguiente forma: \layout Standard Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial (AB). De esta manera obtendremos el lado mayor del rectángulo. Véase la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Rect_aúreo (construcción 1)} \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename aureo1.gif scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Rectángulo áureo (construcción 1) \begin_inset LatexCommand \label{cap:Rect_aúreo (construcción 1)} \end_inset \end_inset \layout Standard Si el lado del cuadrado, AB, mide dos unidades, la distancia del punto medio de AB al vértice de su lado opuesto vale \begin_inset Formula $\sqrt{5}$ \end_inset y por tanto la relación entre la base y la altura es: \layout Standard \begin_inset Formula $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1'61803...$ \end_inset (nuestro número de oro). \layout Standard \added_space_bottom medskip Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podremos construir otros semejantes que, como veremos más adelante, se han utilizado en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...). \layout Standard También se puede construir un rectángulo de oro a partir de un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (véase la siguiente figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Rect_aúreo_(construcción 2)} \end_inset ) \layout Standard \added_space_bottom medskip \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename aureo2.gif scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Rectángulo áureo (construcción 2) \begin_inset LatexCommand \label{cap:Rect_aúreo_(construcción 2)} \end_inset \end_inset \layout Standard Otra forma de construir dicho rectángulo es a partir del triángulo rectángulo de lados 1 y 2 (véase la siguiente figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Rect_aúreo (construcción 3)} \end_inset ) \layout Standard \added_space_bottom medskip \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename aureo3.gif scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Rectángulo áureo (construcción 3) \begin_inset LatexCommand \label{cap:Rect_aúreo (construcción 3)} \end_inset \end_inset \layout Standard También se puede construir nuestro rectángulo a partir de dos cuadrados iguales (véase la siguiente figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Rect_aúreo (construcción 4)} \end_inset ) \layout Standard \added_space_bottom medskip \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename aureo4.gif scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Rectángulo áureo (construcción 4) \begin_inset LatexCommand \label{cap:Rect_aúreo (construcción 4)} \end_inset \end_inset \layout Standard Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:propiedad_rect_aúreo} \end_inset la diagonal AB siempre pasa por el vértice C. \layout Standard \added_space_bottom medskip \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename prop_rect_aureo.gif scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Una importante propiedad \begin_inset LatexCommand \label{cap:propiedad_rect_aúreo} \end_inset \end_inset \layout Standard En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Entonces podremos elegir la unidad en dicho sistema de ejes para que las coordenadas de los tres puntos que aparecen en la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:propiedad_rect_aúreo} \end_inset sean \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Esto no representa ninguna restricción pues todos los rectángulos áureos son semejantes. \end_inset : \layout Standard \added_space_top medskip \begin_inset Formula $A=(0,0)$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $C=(1+\sqrt{5},2)$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $B=(3+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$ \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip Vamos a ver que los vectores \begin_inset Formula $\overrightarrow{AB}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\overrightarrow{AC}$ \end_inset tienen la misma dirección \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Con esto veríamos que los puntos A, C y B están alineados. \end_inset : \layout Standard \begin_inset Formula $\overrightarrow{AB}=(3+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\overrightarrow{AC}=(1+\sqrt{5},2)$ \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip Pero \begin_inset Formula $\overrightarrow{AB}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\overrightarrow{AC}$ \end_inset . \layout Standard Luego tienen la misma dirección. \layout Section La espiral áurea \layout Standard Si le añadimos a un rectángulo áureo un cuadrado construido sobre su lado mayor se obtiene otro rectángulo que también es áureo. De esta forma fácilmente se puede construir una sucesión de rectángulos de oro como se muestra en la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Construyendo-la-espiral} \end_inset . Para construir la espiral \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard En realidad no es una espiral propiamente dicha ya que está formada por arcos de circunferencia y en consecuencia la variación del radio no es contínua. \end_inset que aparece en la misma basta con trazar arcos sobre cada uno de los cuadrados. Podría continuarse dicha espiral tanto por dentro como por fuera indefinidament e. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename espiral_oro.gif scale 85 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Construyendo la espiral de oro \begin_inset LatexCommand \label{cap:Construyendo-la-espiral} \end_inset \end_inset \layout Section La estrella pentagonal \layout Standard La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Pitágoras (c. 582 - c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. \end_inset . Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Pitagoras.gif scale 60 keepAspectRatio subcaption subcaptionText "Pitágoras de Samos" \end_inset \begin_inset Graphics filename estr_pentag.gif scale 60 keepAspectRatio subcaption subcaptionText "Estrella pentagonal" \end_inset \layout Caption \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip La relación entre la diagonal del pentágono regular y su lado es \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset . \layout Standard Demostración: \layout Standard Si consideramos el lado del pentágono la unidad \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pentágono-lado1} \end_inset basta aplicar el teorema del coseno al triángulo \begin_inset Formula $ABC$ \end_inset y resulta que \begin_inset Formula $AC$ \end_inset es el número áureo. \layout Standard \begin_inset Float table placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename pent_lado1.gif scale 75 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Pentágono-lado1} \end_inset Pentágono regular de lado uno \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip \begin_inset Formula \[ AC^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot1\cdot1\cdot\cos108^{o}=2\cdot(1-\cos108^{0})=2'61803398...\] \end_inset \layout Standard Extrayendo la raiz cuadrada, resulta que \begin_inset Formula $AC=1'6180340...=\phi$ \end_inset . \layout Standard \added_space_top medskip Considerando en la siguiente figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Relaciones-pent_reg1} \end_inset el lado del pentágono \begin_inset Formula $AG=1$ \end_inset pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones: \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename rela_pent_lado1.gif scale 75 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Relaciones-pent_reg1} \end_inset Relaciones en un pentágono regular de lado uno \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ MF=NG=1\] \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ MG=\phi\] \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ FG=\phi-1=\frac{1}{\phi}\] \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ NF=1-FG=1-\frac{1}{\phi}=\frac{\phi-1}{\phi}=\frac{1}{\phi^{2}}\] \end_inset \layout Standard En la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Relaciones-pent_reg1} \end_inset los segmentos \begin_inset Formula $\overline{MN}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\overline{NG}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\overline{MG}$ \end_inset están en proporción áurea, esto es: \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{\overline{NG}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MG}}{\overline{NG}}=\phi\] \end_inset \layout Subsection Observaciones \layout Itemize El pentágono regular es uno de los pocos polígonos regulares con un número primo de lados que puede construirse de forma exacta con regla y compás. Ptolomeo ya dio un procedimiento para tal construcción \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard \begin_inset Formula $M$ \end_inset es el punto medio del segmento \begin_inset Formula $OX$ \end_inset y centro del arco que pasa por \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \begin_inset Formula $A$ \end_inset es el centro del arco que pasa por \begin_inset Formula $D$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset . \begin_inset Formula $\overline{AB}$ \end_inset es el lado del pentágono. \end_inset (ver figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Const_Ptolomeo} \end_inset ) \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename pent_ptolomeo.gif scale 65 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Const_Ptolomeo} \end_inset Construcción con regla y compás del pentágono regular (Ptolomeo) \end_inset \layout Itemize La construcción tiene relación con el número de oro. \layout Itemize Podemos seguir los siguientes pasos para comprobar que el método seguido es exacto: \begin_deeper \layout Itemize Probar, utilizando para ello un triángulo isósceles de ángulos \begin_inset Formula $72^{o},\,72^{o}$ \end_inset y \begin_inset Formula $36^{o}$ \end_inset , que \begin_inset Formula $\phi=2\cdot\cos36^{o}$ \end_inset . \layout Itemize Probar que en todo triángulo isósceles del tipo anterior el lado mayor y el menor están en proporción áurea. \layout Itemize Calcular cuánto vale el lado de un pentágono regular inscrito en un círculo de radio 1 \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Dicho valor vale \begin_inset Formula $2\cdot sen\,36^{o}$ \end_inset . \end_inset . Usar el primer resultado para concluir que este valor es de: \begin_deeper \layout Standard \begin_inset Formula \[ \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\] \end_inset \end_deeper \layout Itemize Comprobar que ese mismo valor es el que se obtiene con la construcción de Ptolomeo en el mismo supuesto de que el círculo circunscrito tenga radio 1. \end_deeper \layout Itemize ¿Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo?. Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional \begin_inset Formula $5^{1/2}$ \end_inset , de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de \begin_inset Formula $2^{1/2}$ \end_inset , tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta. Si tienes alguna duda de las relaciones del número áureo con el pentágono estrellado ... ¡mira la siguiente figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pentágonos-estrellados} \end_inset !, y así hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentágono regular podrás hacer lo mismo. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename pent_estrellados.gif scale 65 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Pentágonos-estrellados} \end_inset Pentágonos estrellados \end_inset \layout Subsection \added_space_top medskip La Trigonometría y el número de oro \layout Standard Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes: miden \begin_inset Formula $36^{o},\,72^{o}\, y\,108^{o}.$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename pent_diag.gif scale 95 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Pentágono regular con sus diagonales y ángulos \end_inset \layout Standard La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. En la figura hay varios tipos de triángulos isósceles, de los cuales selecciona mos tres: los triángulos \series bold ABE \series default , \series bold ABF \series default y \series bold AFG \series default . El resto de triángulos son semejantes a algunos de éstos y no aportan informaci ón adicional. Finalmente hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos que llamaremos: \layout Standard \align center \begin_inset Formula $\overline{BE}=a,\,\overline{AB}=\overline{AE}=b,\,\overline{AF}=\overline{BF}=\overline{AG}=c\, y\,\overline{GF}=d$ \end_inset \layout Standard Las longitudes de estos segmentos cumplen que \begin_inset Formula $a>b>c>d$ \end_inset . \layout Standard Consideremos cada uno de estos tres triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno. \layout Standard \added_space_top medskip \emph on Triángulo ABE \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename triang_ABE.gif keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Triángulo ABE \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{a}{sen\,108^{o}}=\frac{b}{sen\,36^{o}}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{sen\,108^{o}}{sen\,36^{o}}\] \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip \emph on Triángulo ABF \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename triang_ABF.gif scale 110 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Triángulo ABF \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{b}{sen\,108^{o}}=\frac{c}{sen\,36^{0}}\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{sen\,108^{o}}{sen\,36^{o}}\] \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip \emph on Triángulo AFG \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename triang_AFG.gif scale 115 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Triángulo AFG \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{c}{sen\,72^{o}}=\frac{d}{sen\,36^{o}}\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{sen\,72^{o}}{sen\,36^{o}}=\frac{sen\,108^{o}}{sen\,36^{o}}\] \end_inset (ver nota al pie \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Como \begin_inset Formula $72^{o}=180^{o}-108^{o}$ \end_inset , resulta, al ser suplementarios que: \begin_inset Formula $sen\,72^{o}=sen\,108^{o}$ \end_inset . \end_inset ) \layout Standard \added_space_top medskip En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones: \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{sen\,108^{o}}{sen\,36^{o}}=1'618033988...\] \end_inset \layout Standard Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro. Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que \begin_inset Formula $c=a-b$ \end_inset y haciendo \begin_inset Formula $b=1$ \end_inset : \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{1}{a-1}\Rightarrow a^{2}-a-1=0\Rightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] \end_inset (el número de oro) \layout Standard Luego dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea. Por tanto: \layout Standard \begin_inset Formula \[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{sen\,108^{o}}{sen\,36^{o}}\] \end_inset \layout Subsection Potencias del número áureo \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{0}=0+1=1+0$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{1}=0+\phi=1+\frac{1}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{2}=1+\phi=2+\frac{1}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{3}=1+2\cdot\phi=3+\frac{2}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{4}=2+3\cdot\phi=5+\frac{3}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{5}=3+5\cdot\phi=8+\frac{5}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{6}=5+8\cdot\phi=13+\frac{8}{\phi}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $\phi^{7}=8+13\cdot\phi=21+\frac{13}{\phi}$ \end_inset \layout Standard ..... \layout Standard Y así sucesivamente. Observamos que cada potencia de \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset (desde la tercera, la de exponente 2, en adelante es suma de las dos potencias que le preceden). \layout Section La sucesión de Fibonacci \layout Standard Consideremos la siguiente sucesión de números: \layout Standard \begin_inset Formula \[ \left\{ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...\right\} \] \end_inset \layout Standard Cada número, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Esta sucesión es llamada sucesión de Fibonacci \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Es el sobrenombre con el se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el norte de Africa y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimient os de la cultura árabe e hindú. Entre otros el sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. \end_inset \layout Standard La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las enuncio en casos particulares (aunque se cumplen en general). Considérese la siguiente tabla \begin_inset LatexCommand \ref{cap:suces_Fibonacci} \end_inset : \layout Standard \begin_inset Float table placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Tabular \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{1}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{2}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{3}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{4}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{5}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{6}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{7}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{8}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{9}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{10}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{11}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{12}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{13}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard f \begin_inset Formula $_{\textrm{14}}$ \end_inset \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 1 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 1 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 2 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 3 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 5 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 8 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 13 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 21 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 34 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 55 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 89 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 144 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 233 \end_inset \begin_inset Text \layout Standard 377 \end_inset \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:suces_Fibonacci} \end_inset Los catorce primeros términos de la sucesión de Fibonacci \end_inset \layout Itemize Si sumas los cuatro primeros términos y le sumas 1 te sale el sexto. Si sumas los cinco primeros términos y le sumas 1 te sale el séptimo. Esto es: \begin_inset Formula $f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}+1=f_{6}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}+f_{5}+1=f_{7}$ \end_inset . \layout Itemize Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar te sale el sexto término. Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar sale el octavo término. Esto es: \begin_inset Formula $f_{1}+f_{3}+f_{5}=f_{6}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f_{1}+f_{3}+f_{5}+f_{7}=f_{8}$ \end_inset . \layout Itemize Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par y le sumas 1 te sale el séptimo. Si sumas los cuatros primeros términos que ocupan posición par y le sumas 1 te sale el noveno. Esto es: \begin_inset Formula $f_{2}+f_{4}+f_{6}+1=f_{7}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f_{2}+f_{4}+f_{6}+f_{8}+1=f_{9}$ \end_inset . \layout Itemize Además: \begin_inset Formula $f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}=f_{2n+1}$ \end_inset . \layout Itemize Veamos qué ocurre si dividimos dos términos consecutivos (siempre el mayor entre el menor) de dicha sucesión: \begin_deeper \layout Standard \begin_inset Formula $1:1=1$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $2:1=2$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $3:2=1'5$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $5:3=1'\hat{6}$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $8:5=1'6$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $13:8=1'625$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $21:13=1'6153846...$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $34:21=1'6190476...$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $55:34=1'6176471...$ \end_inset \layout Standard \begin_inset Formula $89:55=1'6181818...$ \end_inset \end_deeper \layout Standard Al tomar más términos consecutivos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos cada vez más a \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset . \layout Standard \begin_inset Formula \[ L=lim\,\frac{f_{n}}{f_{n-1}}=lim\,\frac{f_{n-1}+f_{n-2}}{f_{n-1}}=lim\,\left(1+\frac{f_{n-2}}{f_{n-1}}\right)=1+lim\,\frac{f_{n-2}}{f_{n-1}}=1+\frac{1}{L}\] \end_inset \layout Standard Por tanto: \begin_inset Formula $L=1+\frac{1}{L}\Rightarrow L^{2}-L-1=0\Rightarrow L=\phi$ \end_inset . \layout Itemize La íntima relación existente entre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea queda de manifiesto en la siguiente fórmula explícita para el n-ésimo término de Fibonacci: \begin_deeper \layout Standard \begin_inset Formula $f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$ \end_inset (ver nota al pie núm. \begin_inset Foot collapsed false \layout Standard Esta expresión da exactamente el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci (al desarrollarla, las \begin_inset Formula $\sqrt{5}$ \end_inset se cancelan), pero para números \begin_inset Formula $f_{n}$ \end_inset de lugar muy avanzado es fastidiosa de utilizar, si bien pueden conseguirse buenas aproximaciones mediante logaritmos. Otra fórmula mucho más sencilla para calcularlo consiste en dividir entre la \begin_inset Formula $\sqrt{5}$ \end_inset la n-ésima potencia de \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset y redondear el número obtenido al entero más cercano. Es decir: \begin_inset Formula $f_{n}=E\left[\frac{\phi^{n}}{\sqrt{5}}\right]$ \end_inset . \end_inset ) \end_deeper \layout Chapter El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza \layout Section El número de oro en el arte y en el diseño \layout Standard Con todo lo visto hasta ahora puede parecer que el número de oro es sólo eso: un número. \layout Standard \align center Pero ... \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename partenon01.jpg scale 75 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption El Partenón \end_inset \layout Standard \added_space_bottom medskip \align center ¿Estará aquí \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset ? \layout Standard \align center \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename partenon02.jpg scale 75 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Alzado-Partenon} \end_inset Alzado de El Partenón \end_inset \layout Standard En la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Alzado-Partenon} \end_inset se puede comprobar que \begin_inset Formula $\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\phi$ \end_inset , \begin_inset Formula $\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\phi$ \end_inset y también que \begin_inset Formula $\frac{\overline{CD}}{\overline{CA}}=\phi$ \end_inset . \layout Standard \added_space_top medskip Hay un precedente a la cultura griega donde aparece donde también apareció el número de oro: en la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es \begin_inset Formula $2\cdot\phi$ \end_inset . \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename piramide_Keops.jpg scale 80 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Pirámide de Keops \end_inset \layout Standard Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename piramide_Keops2.gif scale 90 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Detalle de la pirámide de Keops \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la \series bold Tumba Rupestre de Mira \series default en Asia Menor. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename tumba_Mira.jpg scale 82 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Tumba Rupestre de Mira \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y los romanos, las plasmó en el siguiente dibujo \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Dibujo-de-Leonardo} \end_inset \series bold Leonardo da Vinci. \series default Sirvió para ilustrar el libro \begin_inset Quotes erd \end_inset La Divina Proporción \begin_inset Quotes erd \end_inset de \series bold Luca Pacioli \series default editado en 1509. En dicho libro se describen cuáles han de ser las proporciones de las construcc iones artísticas. En particular, \series bold Pacioli \series default propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferen cia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90 grados con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename hombre_Vinci.jpg scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Dibujo-de-Leonardo} \end_inset Dibujo de Leonardo da Vinci \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip En el cuadro de \series bold Dalí \series default \begin_inset Quotes erd \end_inset Leda Atómica \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Leda-Atómica} \end_inset , pintado en 1949, el autor sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica , especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por \series bold Dalí \series default basado en el pentagrama místico pitagórico. \layout Standard \begin_inset Float figure placement h wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Leda_atomica.jpg scale 83 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Leda-Atómica} \end_inset Leda Atómica \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip El templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada contruida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename templo_Ceres.jpg scale 85 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Templo de Ceres \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename templo_Ceres2.jpg scale 85 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Alzado del templo de Ceres \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip Otros ejemplos en el arte donde podemos encotrar relaciones basadas en la sección áurea son: \layout Itemize \added_space_top medskip Hermes con Dionisio niño \begin_inset Marginal collapsed false \layout Standard Hermes de \series bold Praxíteles \series default (390 - 330 a.C) \end_inset \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Hermes.jpg scale 55 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Hermes con Dionisio niño \end_inset \layout Itemize \added_space_top medskip Venus de Milo \begin_inset Marginal collapsed false \layout Standard Respeta la sección aúrea aunque la aplica un poco más libremente. \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Venus.jpg scale 60 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Venus de Milo \end_inset \layout Itemize \added_space_top medskip Catedral de Salamanca \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Univ_Sa.jpg scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Catedral de Salamanca \end_inset \layout Itemize \added_space_top medskip Cuadro \begin_inset Quotes erd \end_inset Las Meninas \begin_inset Quotes erd \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Meninas.jpg scale 55 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Las Meninas \end_inset \layout Itemize \added_space_top medskip Cuadro \begin_inset Quotes erd \end_inset La Gioconda \begin_inset Quotes erd \end_inset \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Gioconda.jpg scale 50 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption La Gioconda \end_inset \layout Standard \added_space_top bigskip En el siglo XX el arquitecto \series bold Le Corbusier \series default basó su sistema de proporciones humanas (el modulor) en el número áureo. \layout Standard \begin_inset Float figure wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename prop_Corbusier.jpg keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Sistema de proporciones de Le Corbusier \end_inset \layout Itemize La altura de la persona (183) entre la altura a la que está el ombligo del suelo (113). \layout Itemize La altura de la persona con el brazo levantado (226) entre la altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140). \layout Itemize La altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140) entre la altura a la que se encuentra el punto de apoyo de la mano (86). \layout Standard \added_space_top bigskip El número áureo no sólo lo encontramos en las antiguas construcciones y objetos de arte. Diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet de identidad tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename obj_cotidianos.jpg scale 60 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Objetos cotidianos donde aparece la proporción áurea \end_inset \layout Section El número de oro en la Naturaleza \layout Standard Ya hemos visto la relación de la sucesión de Fibonacci con nuestro número de oro. \layout Standard Pues bien, la sucesión de Fibonacci es la pauta que siguen determinados fenómenos de la Naturaleza. Puede aprovecharse para explicar el crecimiento de las hojas a lo largo del tallo de una planta o el número de pétalos de algunas flores; por ejemplo, el lirio tiene tres y las margaritas o girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename passiflora_incarnata.jpg scale 68 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Vista desde el tallo de la Passiflora Incarnata \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip \added_space_bottom medskip \emph on La espiral logarítmica \layout Standard Si tomamos un rectángulo áureo \begin_inset Formula $ABCD$ \end_inset y le sustraemos el cuadrado \begin_inset Formula $AEFD$ \end_inset cuyo lado es el lado menor \begin_inset Formula $AD$ \end_inset del rectángulo, resulta que el rectángulo resultante \begin_inset Formula $EBCF$ \end_inset es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado \begin_inset Formula $EBGH$ \end_inset , el rectángulo resultante \begin_inset Formula $HGCF$ \end_inset también es áureo. Este proceso se puede seguir indefinidamente. obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice \begin_inset Formula $O$ \end_inset de una \emph on espiral logarítmica \emph default (ver figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:La-espiral-logarítmica} \end_inset ). \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename espiral_logarit.gif keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:La-espiral-logarítmica} \end_inset La espiral logarítmica \end_inset \layout Standard Esta curva ha cautivado por su belleza y propiedades a matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante). \layout Standard \added_space_top medskip Obsérvese, por ejemplo, la espiral logarítmica en el Nautilus o en la forma de una piña con piñones (ver figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Nautilus-y-piña} \end_inset ). \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename Nautilus_y_pina.jpg scale 65 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Nautilus-y-piña} \end_inset Nautilus y piña con piñones \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura también es éste número. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename mano.gif keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Falanges de las manos \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci y, por tanto, al número áureo. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename abejas.gif scale 90 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Genealogía-abejas} \end_inset Genealogía de las abejas \end_inset \layout Standard Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (ver figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Genealogía-abejas} \end_inset ) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. \layout Standard \added_space_top bigskip En el reino vegetal la sucesión de Fibonacci hace su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas: una en sentido horario y otra en sentido antihorario, como muestran las espirales sombreadas de la figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Girasol-gigante} \end_inset . Los números de espirales son distintos en cada familia, y por lo común, número de Fibonacci consecutivos. Los girasoles de tamaño medio suelen contener 34 y 55 espirales, pero hay flores gigantescas que alcanzan valores de hasta 89 y 144. En la sección de cartas a la redacción de \emph on The Scientific Monthly \emph default (noviembre de 1951) el geólogo Daniel T. O'Connell y su esposa dijeron haber encontrado en su granja de Vermont un girasol monstruo, con 144 y 233 espirales. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename espiral.jpg scale 60 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Girasol-gigante} \end_inset Girasol gigante que contiene 55 espirales en sentido antihorario y 89 en sentido horario. \end_inset \layout Standard En la siguiente foto se observa el girasol verdadero al que hacemos referencia (ver figura \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Girasol-con-55} \end_inset ): \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename girasol.jpg scale 80 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption \begin_inset LatexCommand \label{cap:Girasol-con-55} \end_inset Girasol con 55 y 89 espirales \end_inset \layout Standard \added_space_top bigskip La siguiente fotografía es de una coliflor corriente. Nótese que si seguimos su contorno podríamos dibujar un pentágono. Observando cuidadosamente podremos ver un punto central donde las flores son más pequeñas. Si miramos de nuevo podremos ver que las flores se organizan en espirales alrededor de ese centro en ambas direcciones. \layout Standard \begin_inset Float figure placement H wide false collapsed false \layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename coliflor.jpg scale 70 keepAspectRatio \end_inset \layout Caption Coliflor común \end_inset \layout Standard \added_space_top medskip \align center \begin_inset Graphics filename Phi.jpg scale 150 keepAspectRatio rotateOrigin center \end_inset \layout Bibliography \bibitem {key-1} LIBROS \layout Itemize \emph on R. Torija. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Arquímedes. Alrededor del círculo \begin_inset Quotes erd \end_inset . Ed. Nivola. Madrid 1999. \layout Itemize \emph on Matila C. Ghika. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes \begin_inset Quotes erd \end_inset . Ed. Poseidon. Barcelona 1983. \layout Itemize \emph on D'Arcy Thompson. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Sobre el crecimiento y la forma \begin_inset Quotes erd \end_inset . H. Blume Ediciones. Madrid 1980. \layout Itemize \emph on J. Rey Pastor y J. Babini. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Historia de la Matemática \begin_inset Quotes erd \end_inset . Barcelona 1984. \layout Itemize \emph on H. Steinhaus. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Instantáneas Matemáticas \begin_inset Quotes erd \end_inset . Ed. Salvat. Barcelona 1984. \layout Itemize \emph on M. Morata y J.C. Orero. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset La circunferencia y otras curvas especiales \begin_inset Quotes erd \end_inset . Actas 7as JAEM. Madrid 1995. FESPM. \layout Itemize \emph on M. J. Luelmo. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Geometría en la Naturaleza \begin_inset Quotes erd \end_inset . MEC. 1987. \layout Itemize \emph on Chris Pritchard. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching \begin_inset Quotes erd \end_inset . Cambridge. 2003. \layout Itemize \emph on K & V Atanassova and others. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset New Visual Perspectives on Fibonacci Numbers \begin_inset Quotes erd \end_inset . World Scientific. 2002. \layout Itemize \emph on Mauricio Donoso. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset La sección áurea y el número de oro; estudio en el cuerpo humano \begin_inset Quotes erd \end_inset . Universidad Santiago de Chile. 1995. \layout Itemize \emph on Denis Guedj. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset El imperio de las cifras y los números \begin_inset Quotes erd \end_inset . Ediciones Grupo Zeta. \layout Itemize \emph on H. E. Huntley. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset The Divine Proportion - A Study in Mathematical Beauty \begin_inset Quotes erd \end_inset . \layout Bibliography \bibitem {key-2} Webs \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html} \end_inset (Excelente página para estudiar el número áureo y su implicación en la Geometría. Contiene numerosos ejemplos de figuras geométricas en las que aparece este número). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://ca.dir.yahoo.com/Science/Mathematics/Numerical_Analysis/Numbers/Specific_Numbers/Phi} \end_inset (Es una página de Yahoo que enlaza con numerosas páginas web referidas al número áureo). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.geocities.com/capecanaveral/station/8228/} \end_inset (Interesante página en inglés que relaciona el número áureo con el Arte, la Bilogía, los números de Fibonacci y el arte antiguo. Se completa con unos interesantes links y bibliografía). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html} \end_inset (Completa página sobre la sucesión de Fibonacci con ejemplos de aplicación en la Biología y su relación con el número áureo). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.html} \end_inset (En esta página se relacionan los números de Fibonacci y el número áureo. Se puede obtener por enlace de la anterior. También se pueden realizar enlaces para relacionarlos con el Arte o la Música). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://ca.dir.yahoo.com/Science/Mathematics/Numerical_Analysis/Numbers/Specific_Numbers/Pi/} \end_inset (Se trata de una página de Yahoo que enlaza con numerosas páginas web sobre el número \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset ). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/} \end_inset (El fantástico mundo de las espirales). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.ga.k12.pa.us/academics/US/Math/Geometry/GEOMPROJ/Meredith/} \end_inset (Mucha información sobre la sucesión de Fibonacci, el rectángulo de oro y \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset ). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-013.htm} \end_inset \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://personal4.iddeo.es/nanisg/oro.htm} \end_inset \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#5} \end_inset \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.mathsoft.com/mathresources/constants/wellknown/article/0,,1971,00.html} \end_inset (Excelente página de Steven Finch sobre la sección áurea). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Jeon.Kyungsoon/writeup5/writeup5.html} \end_inset (Kyongsoon Jeon de la Universidad de Georgia tiene un pequeño pero buen artículo sobre Phi y la serie de Fibonacci usando una hoja de cálculo). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso02/alumnado/} \end_inset (Página de Averroes que trata sobre el número de oro). \layout Itemize \begin_inset LatexCommand \url{http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm} \end_inset (Página del MEC que trata sobre la sucesión de Fibonacci en la Naturaleza). \layout Bibliography \bibitem {key-4} Vídeos \layout Itemize \emph on A. Pérez Sanz. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset El mundo de las espirales. Serie Más por menos \begin_inset Quotes erd \end_inset . RTVE. 1996. \layout Itemize \emph on A. Pérez Sanz. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Fibonacci. La magia de los números. Serie Más por menos \begin_inset Quotes erd \end_inset . RTVE. 1996. \layout Itemize \emph on A. Pérez Sanz. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset El número áureo. Serie Más por menos \begin_inset Quotes erd \end_inset . RTVE. 1996. \layout Itemize \emph on M. Emmer. \emph default \begin_inset Quotes erd \end_inset Espirales \begin_inset Quotes erd \end_inset . Mare Nostrum Audiovisuales. 1990. \layout Standard \the_end