La resolución de ecuaciones
fue el problema para el que
Galois desarrolló la
teoría de grupos. Los métodos generales de
resolución de ecuaciones
considerados aceptables deberían basarse únicamente
en las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación,
división y extracción de raíces, y
tendrían que ser aplicables a cualquier ecuación de grado n,
siendo n la
máxima potencia a que viene elevada la incógnita.
Galois demostró que no
existe ningún método así a partir del caso n=5.
Cada ecuación de grado n
tiene asociado el grupo S(n) o algún subgrupo de S(n);
hoy, al grupo
asociado a una ecuación se le llama grupo de Galois de la
ecuación.
Galois
demostró que solamente serán resolubles por medios
aritméticos y extracción
de raíces aquellas ecuaciones cuyo grupo de Galois sea soluble,
noción
definida por él. Un grupo se llama soluble cuando genera una serie de
subgrupos normales maximales cuyos factores de composición (que se
determina a partir de los números
de elementos del grupo paterno y de los
subgrupos) sean todos ellos primos.
Los factores de composición generados
por S(3) y su serie de subgrupos normales son todos
números primos; por ello
todas las ecuaciones de tercer grado son resolubles. Sin embargo, cuando n
es mayor o igual que 5, puede demostrarse que el subgrupo normal maximal de
A(n) es el grupo identidad, que contiene únicamente
la permutación
identidad. Como A(n) es el subgrupo normal maximal de S(n) los factores de
composición de S(n) no son todos primos cuando n es mayor
o igual que 5. Hay
pues ecuaciones de grado 5 o superior no resolubles por los métodos
permisibles.
Ultima actualización: 6 de Marzo de 1998.