Laplace. Su obra científica
Los primeros documentos matemáticos
de Laplace datan de su etapa
comoestudiante de Teología en la
Universidad de Caen. Resaltar una memoria
sobre el cálculo de diferencias finitas
en el boletín editado por Lagrange.
En 1769 y con una carta de
presentación para el científico Jean Le
Rond d'Alembert se marcha a París. Éste
se interesa por el joven y, tras leer
algunos de los trabajos que le presenta,
especialmente un documento sobre los
principios de la mecánica, lo recomienda
para una plaza de profesor en la Escuela
Militar de París. Laplace tiene apenas
19 años y a partir de este instante
comenzará un período de actividad
cietífica prodigiosa.
Desde hace bastante años los
astrónomos están desconcertados ante
las observaciones, las primeras las
realizó Tycho Brahé (s. XVI), que
indican que la órbita de Jupiter se
contrae continuamente mientras que la de
Saturno se expande. No se encuentra
argumentos matemáticos para explicar el
fenómeno. Newton llegó a concluir que
era necesaria la intervención divina de
forma periódica para mantener el
equilibrio del Sistema Solar.
En 1773 presenta una memoria ante la
Academia Francesa en la que prueba que
los movimientos planetarios son estables.
Inspirándose en un famoso trabajo de
Lagrange sobre la variación de los
elementos orbitales (1766) demuestra que
el fenómeno observado en las óbitas de
los planetas Jupiter y Saturno tiene una
periodicidad 929 años.
Se considera entonces este trabajo como
el más importante avance en Física
astronómica desde Newton. Meses más
tarde es nombrado miembro asociado de la
Academia de Ciencias.
En esta época, ya ha publicado
algunos resultados con sus aportaciones
al calculo integral y a las ecuaciones
diferenciales y puede leerse en el
informe de una sesión de 1774: "Esta
Sociedad que se ha apresudrado a
recompensar sus trabajos y sus talentos
no había visto todavía a nadie tan
joven que le presentara en tan poco
tiempo memorias importantes, y sobre
materias tan diversas y difíciles".
En 1775 demuestra, también a partir
de métodos desarrollados por Lagrange,
que la excentricidad de la órbita de un
planeta está acotada superior e
inferiormente.
Dos importantes teoremas de 1784
acaban de establecer la estabilidad del
sistema solar dentro del marco de la
mecánica laplaciana, demostrando la
existencia de una relación matemática
constante, salvo pequeñas oscilaciones,
entre la masa de un planeta, su distancia
media y su excentricidad.
En las memorias presentadas por
Laplace en 1784, 1785, y 1786 se prueba
por consideraciones generales que la
acción mutua de los planetas Júpiter y
Saturno nunca podría afectar a las
excentricidades e inclinaciones de sus
órbitas; y que las peculiaridades del
sistema Joviano se deben a la
conmensurabilidad de sus movimientos
medios.
Los desarrollos adicionales de estos
teoremas sobre el movimiento planetario
se presentaron en sus dos de memorias de
1788 y 1789.
Con estos datos Delambre calculará más
tarde sus tablas astronómicas.
En 1787 presenta los resultados de su
investigación sobre las anomalías de la
órbita lunar, inspirándose para ello en
su anterior estudio sobre los movimientos
de los satélites de Jupiter. Descubre la
influencia del aplastamiento de la Tierra
sobre el movimiento de traslación de la
Luna e, invirtiendo la cuestión, deduce
el valor del achatamiento terrestre a
partir de la correspondiente anomalía
del movimiento lunar. Explica, también,
que la causa física de la aceleración
del movimiento medio de la Luna está
vinculada a una lenta disminución de la
excentricidad de la órbita terrestre, de
acuerdo con la ley gravitatoria de
Newton. Se rinde un gran homenaje a
Laplace por los resultados de este
último estudio.
Con esta investigación se completa la
demostración de la estabilidad del
sistema solar considerado como un
conjunto de cuerpos rígidos que se
mueven en el vacío.
Laplace se plantea a partir de este
momento la tarea de escribir un trabajo
que ofrezca una solución completa del
gran problema mecánico que representa el
sistema solar, de manera que los
resultados de la observación coincidan
con los obtenidos por los cálculos
matemáticos.
Las concluisones se plasman en las dos
siguientes obras: Exposition du
systeme du monde (1796) y Traite
de mecanique celeste (1799-1825).
Exposition
du systeme du monde
En esta obra se presenta, de forma
resumida, la historia de la astronomía.
Se suele considerar este texto como una
de las obras maestras de la literatura en
su idioma y procura a su autor el honor
de entrar en la Academia Francesa en
1816.
En ella se expone la famosa hipótesis
cosmogónica de Laplace, según la cual,
el Sistema Solar proviene de una nebulosa
primitiva que rodeaba, en forma de
atmósfera, a un núcleo fuertemente
condensado de temperatura muy elevada y
que giraba como una sola pieza alrededor
de un eje que pasa por su centro.
El enfriamiento de las capas
exteriores, junto con la rotación del
conjunto, habría engendrado en el plano
ecuatorial de la nebulosa anillos
sucesivos que darían lugar, a su vez, a
los planetas, mientras que el núcleo
central formaría el Sol. Mediante el
mismo proceso se originarían los
satelites. Los anillos de Saturno serían
un ejemplo de esta fase intermedia.
La idea de la hipótesis nebular ya
había sido planteada por Kant en 1755;
pero es probable que Laplace no la
conociese.
Resaltar que en la Exposition du
systeme du monde se dá una
explicación general de los fenómenos;
pero se omiten todos los detalles y
cualquier demostración de tipo
matemático.
Traite
de mecanique celeste
Con el Tratado de Mecánica Celeste,
monumental obra en 5 volúmenes
publicados entre 1799 y 1825, se culmina
el trabajo de más de un siglo de
duración durante el cual los
científicos intentarón dar una
explicación matemática de la teoría de
la gravitación universal basada en los
principios de Newton.
Laplace reune en un sólo cuerpo, de
doctrina homogénea, todos los trabajos
dispersos de Newton, Halley, Clairaut,
D'Alembert, Euler, etc. De esta manera, y
junto con sus propias aportaciones,
recoge el conocimiento de su época sobre
el movimiento de los cuerpos del Sistema
Solar.
Los primeros dos volúmenes,
publicados en 1799, contienen los
métodos para calcular los movimientos de
los planetas, determinando sus figuras, y
resolviendo problemas de marea.
Los volumenes tercero y cuarto,
publicados en 1802 y 1805, contienen
aplicaciones de estos métodos y varias
tablas astronómicas.
El quinto volumen, publicado en 1825,
es principalmente histórico, pero
presenta, como apéndice, los resultados
de las últimas investigaciones de
Laplace.
El contenido de Mecánica Celeste es
excelente, pero su lectura de ninguna
manera es fácil. Biot, que le ayuda en
la revisión de los textos para su
impresión, narra que, con frecuencia,
Laplace es incapaz de recuperar los
detalles en su cadena de razonamientos
por lo que rápidamete recurrirá a la
fórmula: "Il est facile de voir''.
Mecánica Celeste no es solamente la
traducción de los Principia al idioma
del cálculo diferencial, sino que
completa todos aquellos apartados que
Newton fue incapaz de justificar en sus
detalles. El tratado de Laplace será
considerado siempre como un texto
clásico.
Théorie
Analytique des Probabilités
En 1812, con la Teoría Analítica
de las Probabilidades, expone los
principios y las aplicaciones de lo que
él llama "geometría del azar".
Esta obra representa la introducción de
los recursos del análisis matemático en
el estudio de los fenómenos aleatorios y
recopila toda una serie de memorias
publicadas desde 1771.
Laplace expresa de forma sencilla el
significado del cálculo de
probabilidades: "En el fondo, la
teoría de probabilidades es sólo
sentido común expresado con números".
La importancia de esta materia la
resalta Laplace con las siguientes
palabras : "Es notable que una
ciencia que comenzó con las
consideraciones de juegos de azar había
de llegar a ser el objeto más importante
del conocimiento humano. Las cuestiones
más importantes de la vida constituyen
en su mayor parte, en realidad, solamente
problemas de probabilidad".
Después de Laplace el interés por
esta materia fue disminuyendo hasta
prácticamente desaparecer como
disciplina matemática durante el siglo
XIX.
Sin embargo, su comentario se puede
considerar profético ya que hoy día no
se concibe el progreso en ninguna ciencia
ni en cualquier actividad humana sin la
presencia de la probabilidad.
Resaltar que el método para estimar
la proporción entre el número de casos
favorables y el número de casos posibles
ya había sido propuesto por Laplace en
un documento escrito en 1779.
En este texto también aparecen, entre
otros, los conceptos de función
generatriz, el principio de los mínimos
cuadrados, la solución al problema
"de la aguja"
propuesto por Buffon en 1777 para obtener
una aproximación del número pí y el
conocido posteriormente como Teorema de
Bayes.
El método de los mínimos cuadrados
para la combinación de observaciones
numerosas se había dado empíricamente
por Gauss y Legendre, pero el cuarto
capítulo de la Teoría Analítica
contiene una demostración formal del
mismo.
A lo largo del texto queda reflejado
los conocimientos de análisis
matemático de su autor. Por ejemplo, se
obtienen los valores numéricos de las
integrales definidas más comunes o la
demostración general del teorema,
enunciado por Lagrange, para el
desarrollo de cualquier función
implícita en una serie mediante
coeficientes diferenciales.
Ensayo
filosófico sobre el fundamento de las
probabilidades
Escrito en 1814 Laplace pretende que
esta esta obra represente respecto a la Teoría
Analítica de las Probabilidades lo
que ha significado Exposición del
Sistema del Mundo respecto a Mecáncia
Celeste. Es decir, dar a conocer los
principios y aplicaciones de la
geometría del azar pero sin aparato
matemático alguno.
Aportaciones
en Matemáticas
Entre los descubrimientos menores de
Laplace en Matemáticas se pueden citar:
- La discusión, simultáneamente
con Vandermonde, de la teoría
general de los determinantes en
1772.
- La demostración de que cada
ecuación de grado par debe tener
al menos un factor cuadrático
real.
- La demostración de que la
solución de una ecuación en
diferencias finitas de grado
primero y segundo orden podría
siempre obtenerse en forma de una
fracción continuada.
- En el análisis matemático
introduce el uso de la función
potencial (1874). Demuestra que
la función potencial presentada
por Clairaut y utilizada por
Lagrange en el campo de la
dinámica satisface una ecuación
diferencial en derivadas
parciales para cuya integración
introduce las funciones llamadas
armónicos esféricos, estudiadas
poco antes por Legendre.
Transformada
de Laplace
Transformación que a una
función de variable real f(t),
definida en todo el campo de los
números reales, le hace
corresponder una nueva función
L(f), llamada transformada de
Laplace, definida por la
expresión:
La función depende
del numero complejo z = x+iy.
- Ley de Laplace-Gauss
Ley de probabilidad de una
variable aleatoria continua X
suceptible de tomar cualquier
valor real x y tal que
con
La función f es la densidad de
probabilidad y la función F es la
función de distribución de la
variable aleatoria X siendo y  dos parámetros reales.
La curva representativa de las
variaciones de la función f se llama
curva de campana o curva de
Laplace-Gauss.
En el caso = 0, =1 su representación
gráfica es
Ecuación
de Laplace
Esta célebre ecuación
o laplaciono de una función,
verificada por el potencial, se
encuentra en su Mecánica
celeste. Laplace desarrolla
el concepto de potencial, una
función cuya derivada
direccional en cada punto es
igual a la componente del campo
de intensidad en la dirección
dada.
Aportaciones
en Física y Química
Realiza, junto con Lavoisier en 1780,
las primeras medidas calorimétricas de
las reacciones químicas y de los calores
específicos. Sentando con estas
experiencias las bases de la
termoquímica. En esta época ambos
científicos concluyen que la
respiración no es más que un tipo de
combustión.
Establece la fórmula de las
transformaciones adiabáticas de un gas,
que utilizó en la expresión de la
velocidad de propagación del sonido.
En el campo de la física teórica es
notable su teorema de la atracción
capilar, quien aceptó la idea propuesta
por Hauksbee en las Transacciones
Filosóficas (1709), que explica
como el fenómeno se debe a una fuerza de
atracción que es "insensible a
distancias sensatas".
Resaltar que el apartado que estudia la
acción de un sólido sobre un líquido y
la acción mutua de los de líquidos no
es desarrollado completamente. Esta labor
la realizaría Gauss y, posteriormente,
Neumann completaría los detalles.
La relación que expresa la presión
capilar ejercida sobre una superficie
líquida curvada es conocida como Ley de
Laplace y dice:
Si la superficie es esférica la presión
capilar se comporta de acuerdo con la
siguiente expresión
(  tensión
superficial, r radio de curvatura y p
presión capilar)
Destacar sus estudios sobre la
configuración de un fluido en equilibrio
sometido a un movimiento rotatorio.
Asimismo, contribuye al estudio de la
electricidad y el magnetismo con
técnicas matemáticas. Resaltar las
fuerzas de Laplace, las leyes de Laplace
o la Ecuación de Laplace: "En
toda región del campo donde no hay carga
eléctrica , el potencial está
distribuido según una ley completamente
independiente de las cargas que lo crean"
Enuncia dos leyes fundamentales del
electromagnetismo:
Primera
Ley de Laplace:
En toda región donde no hay carga
eléctrica, el potencial varia de manera
que su valor medio en los puntos de una
superficie esférica es igual al
potencial en su centro.
Segunda
Ley de Laplace:
En un elemento de corriente dentro de
un campo magnético, la fuerza que actúa
es siempre normal al elemento de
corriente y al campo.
(Conocida también como Ley de
Ampere de la inducción magnética.)
Laplace en 1816 es el primero en
demostrar por qué la teoría de
movimiento vibratorio de Newton da un
valor incorrecto a la velocidad del
sonido. Ello es consecuencia del calor
desarrollado por la compresión súbita
del aire que aumenta su elasticidad y por
tanto la velocidad de transmisión del
sonido es mayor de la que calculó
Newton.
En conclusión, para Laplace el
análisis matemático es sólo una
herramienta para resolver problemas
físicos. Además de considerar
suficiente que el resultado sea cierto,
no se preocupa en explicar los pasos que
le han llevado hasta su objetivo y,
cuando lo hace, no le interesa la
elegancia del proceso.
Aunque se debe reconocer que tuvo una
enorme capacidad para inventar,
deasarrollar y aplicar metodos de
análisis matemático se esforzó durante
toda su vida en edificar teorías
matemáticas para explicar los fenómenos
de la mecánica celeste o aplicar la
teoría de probabilidades a la vida
civil.
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Presentación
Obra científica