Menú
Presentación
Biografía
Obra científica
Ascenso social
Retratos
Bibliografía

Laplace. Su obra científica


Los primeros documentos matemáticos de Laplace datan de su etapa comoestudiante de Teología en la Universidad de Caen. Resaltar una memoria sobre el cálculo de diferencias finitas en el boletín editado por Lagrange.

En 1769 y con una carta de presentación para el científico Jean Le Rond d'Alembert se marcha a París. Éste se interesa por el joven y, tras leer algunos de los trabajos que le presenta, especialmente un documento sobre los principios de la mecánica, lo recomienda para una plaza de profesor en la Escuela Militar de París. Laplace tiene apenas 19 años y a partir de este instante comenzará un período de actividad cietífica prodigiosa.

Desde hace bastante años los astrónomos están desconcertados ante las observaciones, las primeras las realizó Tycho Brahé (s. XVI), que indican que la órbita de Jupiter se contrae continuamente mientras que la de Saturno se expande. No se encuentra argumentos matemáticos para explicar el fenómeno. Newton llegó a concluir que era necesaria la intervención divina de forma periódica para mantener el equilibrio del Sistema Solar.

En 1773 presenta una memoria ante la Academia Francesa en la que prueba que los movimientos planetarios son estables. Inspirándose en un famoso trabajo de Lagrange sobre la variación de los elementos orbitales (1766) demuestra que el fenómeno observado en las óbitas de los planetas Jupiter y Saturno tiene una periodicidad 929 años.

Se considera entonces este trabajo como el más importante avance en Física astronómica desde Newton. Meses más tarde es nombrado miembro asociado de la Academia de Ciencias.

En esta época, ya ha publicado algunos resultados con sus aportaciones al calculo integral y a las ecuaciones diferenciales y puede leerse en el informe de una sesión de 1774: "Esta Sociedad que se ha apresudrado a recompensar sus trabajos y sus talentos no había visto todavía a nadie tan joven que le presentara en tan poco tiempo memorias importantes, y sobre materias tan diversas y difíciles".

En 1775 demuestra, también a partir de métodos desarrollados por Lagrange, que la excentricidad de la órbita de un planeta está acotada superior e inferiormente.

Dos importantes teoremas de 1784 acaban de establecer la estabilidad del sistema solar dentro del marco de la mecánica laplaciana, demostrando la existencia de una relación matemática constante, salvo pequeñas oscilaciones, entre la masa de un planeta, su distancia media y su excentricidad.

En las memorias presentadas por Laplace en 1784, 1785, y 1786 se prueba por consideraciones generales que la acción mutua de los planetas Júpiter y Saturno nunca podría afectar a las excentricidades e inclinaciones de sus órbitas; y que las peculiaridades del sistema Joviano se deben a la conmensurabilidad de sus movimientos medios.
Los desarrollos adicionales de estos teoremas sobre el movimiento planetario se presentaron en sus dos de memorias de 1788 y 1789.
Con estos datos Delambre calculará más tarde sus tablas astronómicas.

En 1787 presenta los resultados de su investigación sobre las anomalías de la órbita lunar, inspirándose para ello en su anterior estudio sobre los movimientos de los satélites de Jupiter. Descubre la influencia del aplastamiento de la Tierra sobre el movimiento de traslación de la Luna e, invirtiendo la cuestión, deduce el valor del achatamiento terrestre a partir de la correspondiente anomalía del movimiento lunar. Explica, también, que la causa física de la aceleración del movimiento medio de la Luna está vinculada a una lenta disminución de la excentricidad de la órbita terrestre, de acuerdo con la ley gravitatoria de Newton. Se rinde un gran homenaje a Laplace por los resultados de este último estudio.

Con esta investigación se completa la demostración de la estabilidad del sistema solar considerado como un conjunto de cuerpos rígidos que se mueven en el vacío.
Laplace se plantea a partir de este momento la tarea de escribir un trabajo que ofrezca una solución completa del gran problema mecánico que representa el sistema solar, de manera que los resultados de la observación coincidan con los obtenidos por los cálculos matemáticos.

Las concluisones se plasman en las dos siguientes obras: Exposition du systeme du monde (1796) y Traite de mecanique celeste (1799-1825).



Exposition du systeme du monde


En esta obra se presenta, de forma resumida, la historia de la astronomía. Se suele considerar este texto como una de las obras maestras de la literatura en su idioma y procura a su autor el honor de entrar en la Academia Francesa en 1816.

En ella se expone la famosa hipótesis cosmogónica de Laplace, según la cual, el Sistema Solar proviene de una nebulosa primitiva que rodeaba, en forma de atmósfera, a un núcleo fuertemente condensado de temperatura muy elevada y que giraba como una sola pieza alrededor de un eje que pasa por su centro.

El enfriamiento de las capas exteriores, junto con la rotación del conjunto, habría engendrado en el plano ecuatorial de la nebulosa anillos sucesivos que darían lugar, a su vez, a los planetas, mientras que el núcleo central formaría el Sol. Mediante el mismo proceso se originarían los satelites. Los anillos de Saturno serían un ejemplo de esta fase intermedia.

La idea de la hipótesis nebular ya había sido planteada por Kant en 1755; pero es probable que Laplace no la conociese.

Resaltar que en la Exposition du systeme du monde se dá una explicación general de los fenómenos; pero se omiten todos los detalles y cualquier demostración de tipo matemático.



Traite de mecanique celeste


Con el Tratado de Mecánica Celeste, monumental obra en 5 volúmenes publicados entre 1799 y 1825, se culmina el trabajo de más de un siglo de duración durante el cual los científicos intentarón dar una explicación matemática de la teoría de la gravitación universal basada en los principios de Newton.

Laplace reune en un sólo cuerpo, de doctrina homogénea, todos los trabajos dispersos de Newton, Halley, Clairaut, D'Alembert, Euler, etc. De esta manera, y junto con sus propias aportaciones, recoge el conocimiento de su época sobre el movimiento de los cuerpos del Sistema Solar.

Los primeros dos volúmenes, publicados en 1799, contienen los métodos para calcular los movimientos de los planetas, determinando sus figuras, y resolviendo problemas de marea.

Los volumenes tercero y cuarto, publicados en 1802 y 1805, contienen aplicaciones de estos métodos y varias tablas astronómicas.

El quinto volumen, publicado en 1825, es principalmente histórico, pero presenta, como apéndice, los resultados de las últimas investigaciones de Laplace.

El contenido de Mecánica Celeste es excelente, pero su lectura de ninguna manera es fácil. Biot, que le ayuda en la revisión de los textos para su impresión, narra que, con frecuencia, Laplace es incapaz de recuperar los detalles en su cadena de razonamientos por lo que rápidamete recurrirá a la fórmula: "Il est facile de voir''.

Mecánica Celeste no es solamente la traducción de los Principia al idioma del cálculo diferencial, sino que completa todos aquellos apartados que Newton fue incapaz de justificar en sus detalles. El tratado de Laplace será considerado siempre como un texto clásico.



Théorie Analytique des Probabilités


En 1812, con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expone los principios y las aplicaciones de lo que él llama "geometría del azar". Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios y recopila toda una serie de memorias publicadas desde 1771.

Laplace expresa de forma sencilla el significado del cálculo de probabilidades: "En el fondo, la teoría de  probabilidades es sólo sentido común expresado con números".

La importancia de esta materia la resalta Laplace con las siguientes palabras : "Es notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había de llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas de probabilidad".

Después de Laplace el interés por esta materia fue disminuyendo hasta prácticamente desaparecer como disciplina matemática durante el siglo XIX.

Sin embargo, su comentario se puede considerar profético ya que hoy día no se concibe el progreso en ninguna ciencia ni en cualquier actividad humana sin la presencia de la probabilidad.

Resaltar que el método para estimar la proporción entre el número de casos favorables y el número de casos posibles ya había sido propuesto por Laplace en un documento escrito en 1779.

En este texto también aparecen, entre otros, los conceptos de función generatriz, el principio de los mínimos cuadrados, la solución al problema "de la aguja" propuesto por Buffon en 1777 para obtener una aproximación del número pí y el conocido posteriormente como Teorema de Bayes.

El método de los mínimos cuadrados para la combinación de observaciones numerosas se había dado empíricamente por Gauss y Legendre, pero el cuarto capítulo de la Teoría Analítica contiene una demostración formal del mismo.

A lo largo del texto queda reflejado los conocimientos de análisis matemático de su autor. Por ejemplo, se obtienen los valores numéricos de las integrales definidas más comunes o la demostración general del teorema, enunciado por Lagrange, para el desarrollo de cualquier función implícita en una serie mediante coeficientes diferenciales.



Ensayo filosófico sobre el fundamento de las probabilidades


Escrito en 1814 Laplace pretende que esta esta obra represente respecto a la Teoría Analítica de las Probabilidades lo que ha significado Exposición del Sistema del Mundo respecto a Mecáncia Celeste. Es decir, dar a conocer los principios y aplicaciones de la geometría del azar pero sin aparato matemático alguno.



Aportaciones en Matemáticas


Entre los descubrimientos menores de Laplace en Matemáticas se pueden citar:

  • La discusión, simultáneamente con Vandermonde, de la teoría general de los determinantes en 1772.
  • La demostración de que cada ecuación de grado par debe tener al menos un factor cuadrático real.
  • La demostración de que la solución de una ecuación en diferencias finitas de grado primero y segundo orden podría siempre obtenerse en forma de una fracción continuada.
  • En el análisis matemático introduce el uso de la función potencial (1874). Demuestra que la función potencial presentada por Clairaut y utilizada por Lagrange en el campo de la dinámica satisface una ecuación diferencial en derivadas parciales para cuya integración introduce las funciones llamadas armónicos esféricos, estudiadas poco antes por Legendre.
  • Transformada de Laplace
    Transformación que a una función de variable real f(t), definida en todo el campo de los números reales, le hace corresponder una nueva función L(f), llamada transformada de Laplace, definida por la expresión:

La función depende del numero complejo z = x+iy.

  • La demostración el teorema de D'Alembert sobre las formas de las raíces de las ecuaciones algebráicas.

  • Perfeccióna los métodos de integración de ecuaciones en diferenciales parciales.
  • Ley de Laplace-Gauss
    Ley de probabilidad de una variable aleatoria continua X suceptible de tomar cualquier valor real x y tal que

con

La función f es la densidad de probabilidad y la función F es la función de distribución de la variable aleatoria X siendoy dos parámetros reales.

La curva representativa de las variaciones de la función f se llama curva de campana o curva de Laplace-Gauss.

En el caso = 0, =1 su representación gráfica es

  • La ley de Laplce-Gauss también se conoce con el nombre de ley de Gauss. Pero de hecho Laplace descubre esta ley en 1780 cuando Gauss (1777-1855) tiene tres años. También es muy usada la denominación de Ley normal.

  • Ecuación de Laplace
    Esta célebre ecuación

    o laplaciono de una función, verificada por el potencial, se encuentra en su Mecánica celeste. Laplace desarrolla el concepto de potencial, una función cuya derivada direccional en cada punto es igual a la componente del campo de intensidad en la dirección dada.


Aportaciones en Física y Química


Realiza, junto con Lavoisier en 1780, las primeras medidas calorimétricas de las reacciones químicas y de los calores específicos. Sentando con estas experiencias las bases de la termoquímica. En esta época ambos científicos concluyen que la respiración no es más que un tipo de combustión.

Establece la fórmula de las transformaciones adiabáticas de un gas, que utilizó en la expresión de la velocidad de propagación del sonido.

En el campo de la física teórica es notable su teorema de la atracción capilar, quien aceptó la idea propuesta por Hauksbee en las Transacciones Filosóficas (1709), que explica como el fenómeno se debe a una fuerza de atracción que es "insensible a distancias sensatas".
Resaltar que el apartado que estudia la acción de un sólido sobre un líquido y la acción mutua de los de líquidos no es desarrollado completamente. Esta labor la realizaría Gauss y, posteriormente, Neumann completaría los detalles.

La relación que expresa la presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada es conocida como Ley de Laplace y dice:
Si la superficie es esférica la presión capilar se comporta de acuerdo con la siguiente expresión

( tensión superficial, r radio de curvatura y p presión capilar)

Destacar sus estudios sobre la configuración de un fluido en equilibrio sometido a un movimiento rotatorio.

Asimismo, contribuye al estudio de la electricidad y el magnetismo con técnicas matemáticas. Resaltar las fuerzas de Laplace, las leyes de Laplace o la Ecuación de Laplace: "En toda región del campo donde no hay carga eléctrica , el potencial está distribuido según una ley completamente independiente de las cargas que lo crean"

Enuncia dos leyes fundamentales del electromagnetismo:

Primera Ley de Laplace:
En toda región donde no hay carga eléctrica, el potencial varia de manera que su valor medio en los puntos de una superficie esférica es igual al potencial en su centro.

Segunda Ley de Laplace:
En un elemento de corriente dentro de un campo magnético, la fuerza que actúa es siempre normal al elemento de corriente y al campo.
(Conocida también como Ley de Ampere de la inducción magnética.)

Laplace en 1816 es el primero en demostrar por qué la teoría de movimiento vibratorio de Newton da un valor incorrecto a la velocidad del sonido. Ello es consecuencia del calor desarrollado por la compresión súbita del aire que aumenta su elasticidad y por tanto la velocidad de transmisión del sonido es mayor de la que calculó Newton.

En conclusión, para Laplace el análisis matemático es sólo una herramienta para resolver problemas físicos. Además de considerar suficiente que el resultado sea cierto, no se preocupa en explicar los pasos que le han llevado hasta su objetivo y, cuando lo hace, no le interesa la elegancia del proceso.

Aunque se debe reconocer que tuvo una enorme capacidad para inventar, deasarrollar y aplicar metodos de análisis matemático se esforzó durante toda su vida en edificar teorías matemáticas para explicar los fenómenos de la mecánica celeste o aplicar la teoría de probabilidades a la vida civil.


[Arriba]