Algunos problemas curiosos para la clase de Matemáticas
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Una frase con problema
Este problema fue propuesto en una Olimpíada Matemática para
alumnos de 8º de EGB y 2º de ESO.
"En esta frase el 0 aparece x0 veces,
el 1 aparece x1 veces, el 2 aparece x2 veces, el
3 aparece x3 veces, el 4 aparece x4 veces, el 5 aparece
x5 veces, el 6 aparece x6 veces, el 7 aparece x7
veces, el 8 aparece x8 veces y el 9 aparece x9 veces".
Se trata de sustituir las xi por números
naturales (1, 2, ...), de manera que la frase sea cierta en su totalidad.
Se hace constar que la palabra "veces" puede ser cambiada por "vez", si
alguno de los valores fuera un 1.
Variante del problema
¿Existe solución en el caso de que todas
las xi sean iguales?
Adivinanza con el Dominó
Planteamiento del juego
En este juego hay un "jugador" que manipula las fichas
y un "adivinador" que no está presente en el juego y que sólo
interviene al final. Se ponen todas las fichas del dominó boca abajo
y el jugador procede de la siguiente manera:
-
Toma una ficha, la mira y separa del montón tantas fichas como resulte
de restar 12 menos los tantos de la ficha mirada. (Ej. si toma el 3-4,
aparta 5 fichas, si toma el 6-6, no aparta ninguna).
-
Se repite sucesivamente esta operación, quedando siempre en la mesa
tres montones de fichas (todas boca abajo):
-
Montón A: el original del que se van tomando las fichas.
-
Montón B: conjunto de fichas que ha ido mirando el jugador.
-
Montón C: conjunto de fichas que se han ido apartando.
-
El juego se detiene cuando al tomar una ficha no haya en A fichas suficientes
para pasarlas a C. En este caso se pasan las que hay, y se devuelven de
C a A las que faltan para completar la última operación.
-
Quedan así, al final m fichas en A (las que fueron devueltas
desde C en la jugada anterior), n fichas en B y, obviamente, 28-m-n
fichas en C.
En este momento el adivinador, que no ha estado
presente en ningún momento del juego, observa la situación
y "adivina" la suma de los tantos que hay en B, conjunto de fichas que
ha ido tomando el jugador.
¿Cómo lo hace?
El sorteo de la mili
Es bien conocida la polémica suscitada por el sorteo de la mili
del pasado año. Mostramos aquí un ejemplo sencillito que
ilustra cómo, a pesar de que el sorteo estuvo mal hecho, el error
no afectó a la suerte de los mozos, debido a la existencia de una
asignación previa de un número supuestamente aleatorio.
Supongamos 16 mozos a los que se les ha asignado aleatoriamente
un número del 00 al 15.
Se realiza el siguiente sorteo:
-
Bombo A={ 0 , 1 }
-
Bombo B={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
-
Se extrae una bola de cada bombo y se elige así un determinado número.
-
Si habiendo extraido un 1 del primer bombo, sale en el segundo alguno de
los números 6, 7, 8, 9, se repite la extracción de este último
hasta que salga un número válido. Esto es equivalente a retirar
del segundo bombo los números 6, 7, 8, 9, en el caso de salir
un 1 en el primero.
-
Se libran 4 mozos a partir del número elegido (considerando
cíclico el conjunto de los números).
El proceso consta, pues, de dos sorteos: un primer sorteo por el
que a cada mozo se le ha asignado un número aleatoriamente
y un segundo sorteo en el que, evidentemente, todos los números
NO tienen la
misma probabilidad de salir.
Por ejemplo:
p(04) = 1/2 . 1/10 = 1/20
y
p(12) = 1/2 . 1/6 = 1/12
Pero en la totalidad del proceso todos los mozos SÍ
tienen la misma probabilidad de salir.
En efecto: la probabilidad de salir tras el segundo sorteo un determinado
mozo es:
| p = 10/16 . 1/2 .1/10 + 6/16 . 1/2 . 1/6 = 1/16 |
que es la probabilidad obtenida si hubiéramos puesto los 16 números
en un bombo y hubiéramos hecho una simple extracción. Obsérvese
que el factor 10/16 es la probabilidad de que en el primer sorteo le haya
correspondido al mozo un número que empiece por 0, y análogamente
para el factor 6/16.
Como un mozo se libra si sale su número o alguno de los tres
anteriores, resulta que la probabilidad de que un mozo se libre es:
| P = 1/16+1/16+1/16+1/16 = 1/4 |
la misma para todos.
Problema en verso
En casa de mi vecino
son doce para comer,
los papás y cuatro abuelos,
y seis infantes también,
que unidos sus años suman
once veces treinta y tres.
Los niños nacieron todos
seguiditos, sin revés,
año a año y uno a uno,
testigos de un gran querer.
Al mayor de estos bebés
la mamá lo cuadruplica,
siendo ella duplicada
por un abuelo ¡rediez!
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Los años de los abuelos
equidistan entre si,
y su diferencia duplica
a la de los papás ¡ojo ahí!
Conviene también saber
que el abuelo mas jovial
antecede al que duplica
a la fecunda mamá.
Si quieres hacer constar
que es buena tu aplicación,
dime, en años nada más,
la edad de cada persona
de este enorme batallón.
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La vida de Diofanto
Diophantos fue un matemático griego de la escuela de Alejandría
(s.IV d.C.). Estudió la resolución de ecuaciones y, en especial,
fue un innovador en su teoría de ecuaciones de primer y segundo
grados. Pero sabemos poco de su vida. Todo lo que se conoce acerca de él
ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción
compuesta en forma de ejercicio matemático, que reproducimos a continuación:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto.
Y los números pueden mostrar ¡oh, milagro! cuán larga
fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de
su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima
parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento
de su precioso primogénito, quien entregó su cuerpo, su hermosa
existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre
en la tierra.
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido
cuatro años a su querido hijo.
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Se trata de averiguar cuántos años vivió Diofanto,
a qué edad se casó, cuándo tuvo su primer hijo y a
qué edad lo perdió.
Ganas de discutir
Caminaban juntos dos arrieros, castellano uno, Isidro, y aragonés
el otro, Jorge, por los reales caminos del siglo XVI, llevando en sus barricas
ocho cántaras de vino. El sol hacía rato que calentaba cuando
empezaron a conversar:
ISIDRO: Cambiemos de montura que a su borrico lo veo desfallecer.
Vuesa merced pasa de las 6 arrobas y media.
JORGE: Pero hombre, Isidro ¡que pesamos lo mismo! 216
libras justas. Será que el asno no ha comido.
ISIDRO: ¡Válgame Dios! No exagere vuesa
merced. Pesamos 163 libras y una onza, como mucho.
JORGE: ¡Rediez con el castellano! Pesamos 2.592
onzas, ni más ni menos.
ISIDRO: ¡Esto es la caraba! Son 2.608 onzas
y 11 adarmes.
JORGE: ¡Por las barbas de ...! Antes menos libras
y ahora más onzas. No continuaré discutiendo. Callemos, ¡voto
a tal!
Pero el camino es largo y al cabo de cierto tiempo ...
JORGE: Perdone vuesa merced, faltan 52.250 varas y
llegaremos al atardecer. ¿Paramos a comer?
ISIDRO: Ca, Jorge. Faltan 48.250 varas y llegaremos
a mediodía.
JORGE: ¡Voto a tal! Otra vez por debajo. Vuesa
merced se equivoca de mucho y ¡ya está bien!
ISIDRO: ¡Ya basta! A tozudez no hay quien le gane.
Cada vez que abre la boca es para decir tonterías.
JORGE: ¡Esta sí que es buena! Además
insultos. ¡Se acabó! Cada uno por su lado.
ISIDRO: De acuerdo, repartamos.
No tienen otra medida para hacer la partición ni otras vasijas
que las tres donde llevan el vino, que son tres pellejos de 8, 5 y 3 cántaras
respectivamente (el pellejo de 5 cántaras es de Isidro). Con ellas
tienen que arreglarse para medir y separar las cuatro cántaras que
corresponden a cada uno.
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¿Cuánto pesaban, en medidas actuales, cada uno de los arrieros?
-
¿A qué distancia, en Km, se encontraban de su destino?
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¿Cómo deben realizar el reparto del vino para que cada uno
pueda irse por su lado?
CASTILLA
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4 arrobas=100 libras=46 Kg
16 onzas=256 adarmes
1,79 gr=8 tomín
1 vara=0,836 m |
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*****
1 quintal
1 libra
1 adarme
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ARAGÓN
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4 arrobas=144 libras=50 Kg
12 onzas=192 adarmes
1,79 gr=3 tomín
1 vara=0,772 m |
¿Juego con ventaja?
Se dispone de tres cartas en una bolsa, coloreadas por ambas caras
de blanco / blanco, rojo / rojo y blanco / rojo respectivamente. Se
extrae una carta y se coloca sobre la mesa sin que se vea el color de la cara
oculta. Supongamos que la cara visible es blanca. El jugador razona de
la siguiente manera:
Esta carta es la blanca / blanca o la blanca / roja.Por lo tanto,
la cara oculta o es blanca o es roja, con el 50% de posibilidades para
cada color. Yo apuesto a que es blanca. ¡Hagan señores sus
apuestas!
¿Es equitativo este juego?
Parejas de viaje
En un conocido programa de TV se enfrentan tres chicos y tres chicas que
no se conocen previamente. Tras contar sus preferencias, gustos, diferentes
modos de pensar, aficiones, etc., eligen cada uno secretamente un/a compañero/a
de viaje. Si coincide una pareja en la elección se ganan un viaje
a Andorra. Así de sencillo, pero yo me pregunto: ¿es fácil
ganar el premio? Suponiendo que la elección fuese aleatoria,
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¿Cuál es la probabilidad de que alguna pareja vaya de viaje?
-
¿Y cuál es la probabilidad de que las tres parejas resulten
premiadas?
© Antonio Aranda
Última actualización: 7 de marzo de 1998.