LEONARDO DE PISA

Los conejos de Fibonacci

Juan Sánchez Martos


No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas, interesado en la teoría de números, quién encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci.

Mediante una sencilla gráfica podemos observar el crecimiento en el número de pares de conejos, así el primer y segundo mes habría sólo un par de conejos; al finalizar este segundo mes la hembra tendría su primer parto y por lo tanto el tercer mes ya serían dos pares los existentes. El cuarto mes los padres tendrían otra pareja y los hijos todavía no, por lo tanto serían tres los pares. El quinto mes se produciría el primer parto de los hijos y otro más de los padres, con lo que los pares que correteaban por el campo ya serán cinco. A partir de aquí no hay más que seguir el proceso para ir calculando los conejitos durante los siguientes meses.

La sucesión así formada está compuesta, en sus primeros términos, por los números:

caracterizada porque cada término de la sucesión es suma de los dos anteriores.

Fibonacci no investigó la sucesión, que tampoco recibió ningún estudio serio hasta comienzos del siglo pasado. A partir de esa fecha los artículos dedicados a ella (y éste es prueba de ello) empezaron a proliferar (según un matemático de la época) "como los conejitos de Fibonacci".

La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los aficionados en teoría de números, aun con conocimientos poco más allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber variedad inagotable.

El interés por esta sucesión (y por las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que son las formadas a partir de dos enteros positivos cualesquiera y, a partir de ahí, cada término es la suma de los dos anteriores) se ha avivado recientemente pues tiene aplicación en clasificación de datos, generación de números aleatorios...

De entre las múltiples propiedades notables que tiene la Sucesión de Fibonacci algunas de las más curiosas pueden ser:

La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Pero también existen una gran variedad de aplicaciones de la misma en física y matemáticas.

Por ejemplo, los rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos láminas de vidrio planas y en contacto pueden no experimentar reflexión alguna de sólo 1 forma. Para los rayos que sufren una reflexión hay 2 rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones las rutas posibles son 3, cuando sufren tres, las rutas son 5. Al ir creciendo el número n de reflexiones, el número de trayectorias posibles va ajustándose a l a sucesión de Fibonacci.

La sucesión puede utilizarse, de forma parecida, para contar el número de distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas hexagonales de un panal.

Resulta muy curioso, y entretenido, el juego conocido como el nim de Fibonacci, consistente en ir retirando cuentas de una pila que inicialmente contiene n fichas. Los jugadores actúan por turno. En la primera jugada no es lícito retirar la pila completa, aunque sí en las sucesivas, siempre que se respeten las siguientes reglas:

Si n es un número de Fibonacci, el segundo jugador puede ganar siempre; en cambio si no es así el ganador, si sigue la estrategia correcta, será el primero. Si una partida comienza por ejemplo con 20 fichas (que no es un número de Fibonacci), ¿cuántas debe retirar el primer jugador para asegurarse la victoria?
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Actualización: Marzo 1.998