LEONARDO DE PISA
Los conejos de Fibonacci
Juan Sánchez Martos
No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la
matemática fueron de tanta importancia, sea hoy conocido sobre todo
a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard
Lucas, interesado en la teoría de números, quién
encadenó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica
que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci.
Imaginemos una pareja de conejos, macho y hembra, encerrados en un
campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan
a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre un único
par macho-hembra, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes
un par más de iguales características. Admitiendo que no
muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos pares contendría
el cercado al cabo de un año?.
Mediante una sencilla gráfica podemos observar el crecimiento en
el número de pares de conejos, así el primer y segundo
mes habría sólo un par de conejos; al finalizar este
segundo mes la hembra tendría su primer parto y por lo tanto el
tercer mes ya serían dos pares los existentes. El
cuarto mes los padres tendrían otra pareja y los hijos todavía
no, por lo tanto serían tres los pares. El quinto
mes se produciría el primer parto de los hijos y otro más
de los padres, con lo que los pares que correteaban por el campo ya serán
cinco. A partir de aquí no hay más que seguir el proceso
para ir calculando los conejitos durante los siguientes meses.
La sucesión así formada está compuesta, en sus
primeros términos, por los números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181, 6765...
caracterizada porque cada término de la sucesión es suma
de los dos anteriores.
Fibonacci no investigó la sucesión, que tampoco recibió
ningún estudio serio hasta comienzos del siglo pasado. A partir
de esa fecha los artículos dedicados a ella (y éste es prueba
de ello) empezaron a proliferar (según un matemático de la
época) "como los conejitos de Fibonacci".
La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos
durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más
inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los aficionados
en teoría de números, aun con conocimientos poco más
allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla
y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber
variedad inagotable.
El interés por esta sucesión (y por las llamadas sucesiones
generalizadas de Fibonacci, que son las formadas a partir de dos
enteros positivos cualesquiera y, a partir de ahí, cada término
es la suma de los dos anteriores) se ha avivado recientemente pues tiene
aplicación en clasificación de datos, generación de
números aleatorios...
De entre las múltiples propiedades notables que tiene la Sucesión
de Fibonacci algunas de las más curiosas pueden ser:
-
La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando
por encima y por debajo de la razón áurea,
y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más
a este valor.
-
En el reino vegetal su aparición más llamativa en la implantación
espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas
dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra
en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de
la conocida serie.
-
El cuadrado de cada número F se diferencia en 1 del producto
de los dos números F situados a cada uno de sus lados. Conforme
se avanza en la sucesión, esta diferencia va siendo alternativamente
positiva y negativa.
-
La suma de los cuadrados de dos números F consecutivos cualesquiera,
Fn2+Fn+12 es F2n+1.
Puesto que el último de estos números es de subíndice
forzosamente impar, resulta de este teorema que al escribir en sucesión
los cuadrados de los números de Fibonacci, las sumas de los pares
de cuadrados consecutivos formarán la sucesión de números
de Fibonacci con subíndice impar.
-
Cualesquiera cuatro números de Fibonacci consecutivos A, B, C, D
verifican la siguiente identidad: C2 - B2 = A x D.
-
La sucesión de las últimas cifras de los números de
Fibonacci tiene período 60. Si se toman las dos últimas cifras,
la sucesión tiene período 300. Para la sucesión formada
a partir de las tres últimas cifras el período es ya 1.500;
para cuatro, el período tiene 15.000 cifras; para cinco el número
asciende ya a 150.000, y así sucesivamente.
-
Para cada entero m hay una colección infinita de números
de Fibonacci exactamente divisibles por m, de los cuales
al menos uno se encuentra entre los 2m primeros términos
de la sucesión.
-
El tercero de cada tres números de la sucesión es divisible
por 2; al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es divisible por 3.
El quinto de cada cinco es múltiplo de 5; el sexto de cada seis,
es divisible por 8, y así sucesivamente, siendo los divisores números
F en sucesión.
-
A excepción del 3, todo número F que sea primo tiene subíndice
primo. Dicho de otra forma, si el subíndice es compuesto, también
lo será el número F correspondiente (Por ejemplo, 233 es
primo y porta subíndice 13, también primo). Pero la recíproca
no es cierta. Hay números de Fibonacci con subíndices primos
que son números compuestos. El primer ejemplo es F19
que vale 4.181, siendo éste último múltiplo de 37
y 113.
-
Con las excepciones triviales de 0 y 1, tomando 0 como el elemento de subíndice
0 de la sucesión, entre los números de Fibonacci hay solamente
un cuadrado perfecto, el elemento 12, que es 144, muy curioso, pues su
valor es el cuadrado del subíndice.
-
En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.
La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría
para llenar un libro. Pero también existen una gran variedad de
aplicaciones de la misma en física y matemáticas.
Por ejemplo, los rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos
láminas de vidrio planas y en contacto pueden no experimentar reflexión
alguna de sólo 1 forma. Para los rayos que sufren una reflexión
hay 2 rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones las rutas posibles
son 3, cuando sufren tres, las rutas son 5. Al ir creciendo el número
n de reflexiones, el número de trayectorias posibles va ajustándose
a l a sucesión de Fibonacci.
La sucesión puede utilizarse, de forma parecida, para contar
el número de distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo
las celdillas hexagonales de un panal.
Resulta muy curioso, y entretenido, el juego conocido como el nim
de Fibonacci, consistente en ir retirando cuentas de una pila que
inicialmente contiene n fichas. Los jugadores actúan por
turno. En la primera jugada no es lícito retirar la pila completa,
aunque sí en las sucesivas, siempre que se respeten las siguientes
reglas:
-
En cada turno es obligatorio retirar al menos una ficha.
-
Ningún jugador puede retirar más del doble del número
de fichas que haya retirado su oponente en el turno anterior.
-
Gana la partida quien retire la última ficha.
Si n es un número de Fibonacci, el segundo jugador puede
ganar siempre; en cambio si no es así el ganador, si sigue la estrategia
correcta, será el primero. Si una partida comienza por ejemplo con
20 fichas (que no es un número de Fibonacci), ¿cuántas
debe retirar el primer jugador para asegurarse la victoria?
Descomponemos el número 20 en números de Fibonacci, comenzando
por el mayor posible (el 13) sumando después el mayor posible (5)
y después el siguiente (2). Así que 20=13+5+2 es la descomposición
buscada. Todo número entero puede descomponerse de forma única
como una suma de números de Fibonacci; tal descomposición
no contendrá nuca números F consecutivos.
El último número, el 2, es el número
de cuentas que ha de retirar el primer jugador para ganar. El segundo queda
imposibilitado por las reglas a tomar más del doble de 2, por consiguiente
no puede reducir la pila (que ahora tiene 18 cuentas) al número
F más cercano (el 13).
Supongamos que retire 4; la pila tendrá ahora 14 cuentas, número
que se expresa como 14=13+1 en números F, por lo que el primero
retirará ahora 1 cuenta. Prosiguiendo con esta estrategia,
ganará.
© Juan
Sánchez Martos
Actualización: Marzo 1.998
SAEM Thales 
CICA