LÓGICA Y LENGUAJE

Las apuestas inútiles

Juan y Pedro eran muy aficionados a apostar, feo vicio, del que quiso corregirles un amigo suyo, preparándoles la siguiente broma. Les mostró una tarjeta, dejándoles leer una de sus caras, donde se veía escrita la frase:

"Al dorso de esta tarjeta hay escrita una mentira"
-¿Crees tú que esto que dice aquí es cierto?- Le preguntó a Juan.
-Sin duda ninguna- Le contestó.
-Yo creo precisamente lo contrario- comentó Pedro. -Sospecho que nos está preparando alguna trampa y que lo que estamos leyendo es mentira.
-Te apuesto lo que quieras a que lo que hemos leído es verdad- insistió Juan.
-Y yo acepto la apuesta, y sostengo que es mentira- concluyó Pedro.

El amigo mostró entonces el otro lado de la tarjeta, y dejó a Juan y Pedro entregados en discusiones. Estas discusiones no han terminado todavía, porque el dorso de la tarjeta... repetía exactamente la misma frase que acababan de leer:

"Al dorso de esta tarjeta hay escrita una mentira"
Y naturalmente: si la primera frase dice la verdad, la segunda no sería cierta, cosa absurda puesto que las dos dicen lo mismo en las mismas condiciones. Llegándose a igual contradicción si la primera frase es mentira.

Paradoja de Richard

La paradoja que vamos a exponer ahora, sin entrar en su análisis detallado, ha tenido trascendencia en la Matemática actual. Puede exponerse en varias formas, que esencialmente equivalen a la siguiente:

Es indudable que el número de palabras del idioma español es limitado: no hay infinitas palabras. Por consiguiente, el número de frases de menos de cincuenta palabras que pueden formarse en español es también limitado. Por consiguiente, el número de números naturales que pueden definirse con frases de menos de cincuenta palabras, también es limitado (una de estas frases puede ser: "El menor número entero que sea, a la vez, par, cuadrado y cubo"). Hasta aquí todo parece correcto. Como el conjunto de los números naturales que se definen con menos de cincuenta palabras es limitado, al no tener infinitos números, habrá uno que será mayor que todos. Y ahora decimos:
"Sea A el número entero que sigue al mayor de los números enteros que se pueden definir con menos de cincuenta palabras."
Con esta frase se plantea una dificultad muy grave. Porque el número A se ha definido con las palabras entrecomilladas, menos de cincuenta, y por consiguiente debe pertenecer al conjunto de los números definidos por esta condición. Sin embargo, por su propia definición, debe superar a todos los números.
Lo ilegítimo de este razonamiento es que se trabaja con un conjunto que se va formando a medida que se nombra, mientras que se olvida esto: "Sólo se tiene derecho para formar conjuntos, cuando los elementos del mismo existen previamente."

Una sabia decisión de Sancho Panza

Para presentar otro tipo de paradojas, de cuyo enunciado cabe numerosas variantes, parece lo más conveniente reproducir unas páginas del Quijote, en el Capítulo LI de la Segunda Parte. Es, sin duda, el escrito de CERVANTES más profesionalmente considerado por los matemáticos, y se refiere a un episodio del gobierno de Sancho Panza en la ínsula Bataria.

He aquí, pues, la cuestión que cierto día ofreció un forastero al juicio y sentencia de Sancho Gobernador:
- Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío... Y esté vuesa merced atento, porque es caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este río estaba una puente, y al cabo de ella una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban por la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío, que era de esta manera:

"Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero a dónde va y a qué va; y si jurare la verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna"
Sabida esta ley y la rigurosa condición della, pasaban muchos, que luego en lo que juraban se echaba de ver que decían la verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente.

Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre, juró y dijo, que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa.

Repararon los jueces en el juramento y dijeron:
- Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y habiendo jurado la verdad, por la misma ley debe ser libre.
Pídese a vuesa merced, señor gobernador, ¿qué harán los jueces de tal hombre? que aun agora están dudosos y suspensos; y habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuesa merced de su parte, diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso.

A lo que respondió Sancho:
- Por cierto que esos señores jueces, que a mí os envían, lo pudieran haber excusado; porque yo soy un hombre que tengo más de mostrenco que de agudo; pero, con todo eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo lo entienda; quizá podría ser que diese en el hito.

Volvió otra y otra vez el preguntante a referir lo que primero había dicho, y Sancho dijo:
- A mi parecer, este negocio en dos paletas le declararé yo si es así: el tal hombre jura que se va a morir en la horca; y si muere en ella juró la verdad, y por la ley puesta merecer ser libre, y que pase la puente; y si no le ahorcan juró mentira, y por la misma ley merece que le ahorquen.
- Así es como vuesa merced dice, dijo el mensajero; y en cuanto a la entereza y entendimiento del caso, no hay más que pedir ni que dudar.

En los primeros comentarios matemáticos a este problema se procuró incluirlo entre las paradojas de la Teoría de Conjuntos, pero su interés más cierto se ofrece como problema de Álgebra proposicional. Así se propone, llamándole ya problema de Cervantes en el clásico libro de Lógica Matemática de A. CHURCH (1956). Cuando se formaliza la cuestión se llega a establecer (como lo hace, por ejemplo, PI I CALLEJA en un bonito artículo sobre paradojas clásicas), como era previsible, que ninguna decisión hará cumplir la ley. ¿Qué hacer entonces? La sentencia que dicta Sancho Panza en como sigue:
- Venid acá, señor buen hombre, respondió Sancho; este pasajero que decís, o yo soy un porro, o él tiene la misma razón para morir que para vivir y pasar el puente; porque so la verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo eso así como lo es, soy de parecer que digáis esos señores solverle, que le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado más el hacer bien que mal; y esto le diera firmado en mi nombre, si supiera mejor firmar; y yo en este caso no he hablado de mío, sino que se me vino a la memoria un precepto, entre otros muchos, que me dio mi amo don Quijote, antes que viniese a ser gobernador de esta ínsula, que fue cuando la justicia estuviese en duda, me decatase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora me acordase, por venir en este caso como de molde.

¡Buen Sancho Panza!... Podíamos alabar, después de esta lectura, la no fingida modestia que sus contestaciones transparentan, y también su fidelidad al cristiano y cabal precepto que don Quijote le diera; pero lo que a cualquier matemático debe resultar simpático es su buen deseo de declarar "en dos paletas" el planteo de una cuestión cuando, como sucede muchas veces, viene estorbada en su comprensión por una multitud de detalles no esenciales.

En su conocido texto de Álgebra, GODEMENT enuncia el problema en la forma siguiente:

"Los caníbales de una tribu se preparan a comerse un misionero. Deseando demostrarle una vez más su respeto a la dignidad y a la libertad humana, los caníbales proponen al misionero el decidir él mismo de su suerte haciendo una breve declaración; si ésta es verdadera, el misionero será asado, y si es mentira será hervido. ¿Qué debe decir el misionero para salvar su vida? (según CERVANTES)."

La referencia "según Cervantes" es del todo justa, porque aunque el problema parezca distinto al de Sancho, es matemáticamente idéntico. Esta diferencia de forma con identidad de fondo matemático es cosa frecuente.

Los tres condenados

Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por él mismo.

Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente:

A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blanca y dos tiras negras. Después ordenó que a la espalda de cada preso por separado se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al primero que supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su tira.
El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada.

¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?

Solución al problema:

Triquis y traques

Los triquis y los traques son dos curiosas tribus que tienen esta notable particularidad: Que los hombres triquis mienten siempre, mientras que los traques no mienten jamás. Un explorador, que se deslizaba por el río a bordo de una barca conducida por un indígena, vio en la orilla a otro indígena que por su apariencia física se adivinaba de tribu contraria a la de su barquero.
-¿De qué tribu eres tú?- interrogó el explorador al hombre de la orilla.

La respuesta se hizo confusa, por la distancia, y el explorador preguntó a su barquero:
-¿Qué es lo que me ha respondido?
-Dice que es un traque- contestó el barquero.

Se trata ahora de saber a qué tribu pertenecía cada uno de los indígenas.

Solución al problema:

El gimnasta y sus pesas

Cualquier gimnasta sabe que puede levantar pesos hasta cierto límite, pero no más allá. Por consiguiente, situado ante la colección de pesas de su gimnasio (colección constituida por un número determinado de piezas, con los pesos reglamentarios), sabe que hay unas cuantas que puede levantar, y entre ellas hay una de peso máximo. Las restantes son las que no puede levantar, y entre ellas hay una de peso mínimo.

Ahora bien, concibamos que este gimnasta pueda disponer de piezas de cualquier masa, de modo que el peso de las mismas varíe con continuidad entre los extremos de la serie, aumentando desde el peso menor al más grande, no a saltos, como en su colección, sino de modo perfectamente continuado. Entonces resultará esto:

"O bien hay un peso máximo entre los que el gimnasta puede levantar, o bien hay un peso mínimo entre los que no puede levantar, pero no existirán ambos".
En efecto, sea 90 Kg el peso máximo que puede levantar; entonces, 90,001 Kg ya no podrá levantarlos. Pero es que, además, ese intervalo de un gramo (o menor), podemos concebirlo subdivido en cuantas partes se quiera, sin que el peso intermedio pueda ya levantarse, puesto que 90 Kg es el peso máximo que se levanta. Por lo tanto, no hay un peso mínimo entre los que no se puede levantar.

Por la Aritmética esto no constituye propiamente una paradoja sino que es una circunstancia completamente natural, que aparece muchas veces en las cortaduras o clasificaciones de los números reales. El aspecto paradójico se nos presta únicamente en la pretendida interpretación física; las cortaduras en el mundo físico real, no deben concebirse (ni pueden realizarse) con la nitidez de estas otras cortaduras en el mundo abstracto de los números.



© Rocío González Díaz (UNIVERSIDAD DE SEVILLA)

Ultima actualización: 6 de Marzo de 1998.