ACTIVIDADES



1.- ACTIVIDADES PARA ENTENDER LA UTILIDAD DEL ÁLGEBRA

(1) EL ARTE DE ADIVINAR NÚMEROS(I)

EL profesor propone a los alumnos que realicen las siguientes operaciones: pensar un número cualquiera, sumarle 2, multiplicar el resultado por 3, restarle 5, restar el número pensado, multiplicar por 2 y por último restarle 1. Luego el profesor le pide (uno a uno) que le comuniquen el resultado y, al obtener la respuesta, en seguida les dice el número pensado ante la sorpresa de éstos.


SOLUCIÓN.- El secreto de la actividad es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones, basta ir realizando mentalmentente las siguientes operaciones:

piense un número x
adiccione 2 x+2
el resultado multiplíquelo por 3 3x+6
reste 3 3x+1
reste el número pensado 2x+1
multiplique por 2 4x+2
reste 1 4x+1


Luego el profesor pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo, dice al instante el número pensado. ¿Cómo lo hace?

Para comprender esto, hay que mirar la columna de la derecha de la tabla, donde las indicaciones del profesor están traducidas al idioma del álgebra. Mirando a la columna, se puede comprender, que si los alumnos han pensado cualquier número x, entonces realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x+1. Conociendo este resultado no es díficil "adivinar" el número. Supongamos que un alumno le haya dicho al profesor que el resultado es 33. Entonces el profesor resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x+1=33 y obtiene la respuesta x=8. Es decir, resta 1 al resultado final (33-1=32) y luego el número obtenido se divide entre 4 (32:4=8), el resultado de esta división es el número pensado (8).


(2) EL ARTE DE ADIVINAR NÚMEROS (II)

El profesor propone a los alumnos realizar las siguientes operaciones: pensar un número cualquiera, sumarle 2, multiplicar el resultado por 2, sumarle 3, restarle el número pensado y sumarle 5. ¿Puede el profesor adivinar el número?¿Por qué? ¿Cómo puede salir airoso el profesor de la situación?


(3) LA ECUACIÓN PIENSA POR NOSOTROS

Para ver que las ecuaciones son a veces más previsoras que nosotros resolvamos la siguiente actividad:

"el padre tiene 32 años; el hijo, 5. ¿al cabo de cuántos años será la edad del padre diez veces mayor que la del hijo?"


SOLUCIÓN.- Sea x ="al tiempo buscado en años". Al cabo de x años el padre tendrá 32+x años; y el hijo, 5+x años. Y como el padre debe de tener 10 veces más años que el hijo, se establece la ecuación 32+x=10(5+x). Al resolverla hallamos que "x=-2".
"Al cabo de menos dos años" que significa "hace dos años". Al plantear la ecuación no pensábamos que en el futuro la edad del padre no sería nunca 10 veces superior a la del hijo; esa situación sólo pudo tener lugar en el pasado. La ecución ha sido más reflexiva que nosotros, y nos ha recordado nuestro descuido.


(4) EN LA PELUQUERÍA.

¿Puede el álgebra tener alguna aplicación en la peluquería?

Resulta que puede darse la siguiente situación. En cierta ocasión me encontraba en la peluquería de un amigo y uno de sus empleados me dijo que perdían mucha agua oxigenada por no saber mezclarlas en la proporción adecuada y le pregunté que ¿cuál era el problema?

"Tenemos dos soluciones de agua oxigenada: una al 30% y otra al 3%. Debemos mezclarlas de tal forma que obtangamos una solución al 12%"

 NOTA.- El problema puede ser resuelto también por vía aritmética, pero mediante el álgebra se obtiene el resultado con más sencillez y prontitud.

SOLUCIÓN.- Deberá tomarse doble cantidad de la solución al 3% que la empleada el 30%.


(5) EL HOTEL DE LOS LIOS.

Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1,2,3,4,5,6,7............ Todas ellas abiertas, pero llega alguien y las cierra todas, contento con su hazaña se va a dormir. Viene otro después y, comenzando desde el principio, las abre ordenadamente de 2 en 2: la 2, la 4, la 6, etc., contento tAmbién por lo que ha hecho se va a dormir. Pero otro viene después y decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3, la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo, otro viene después y comenzando por el principio, va cambiando las puertas de 4 en 4: de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro hace lo propio, pero de 6 en 6, y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito, porque el hotel tiene infinitos bromistas.

Tú, que eres el conseje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos lios. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas cuando te despiertes por la mañana?

 NOTA.- A veces el álgebra es de poca utilidad.


2. NO TODA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES UNA ECUACIÓN. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?


(6) De las siguientes expresiones o enunciados. ¿Cuáles son ecuaciones? Razona la respuesta.

  1. 2(3x+4y)

  2. 5(3a-2)=7(a+2)

  3. La suma de un número con su mitad es 15

  4. 12p+15p-r

  5. Escribe un número y su cuarta parte

  6. Tengo 87 pesetas y las gasto todas menos 17. ¿Cuántas me quedan?

  7. La base de un rectángulo es 5 cm mayor que su altura.Su perímetro es 36 cm.

  8. Un bolígrafo cuesta 20 pesetas más que un lápiz

  9. x=13/8

  10. 13+7=20

  11. 2(x-1)=0

  12. a+b=b+a




(7) A Pablo en al clase de Lengua le han puesto algunas oraciones para analizar. El chico ha hecho la mitad en la biblioteca de su colegio y después de salir de allí hizo 4 ejercicios más. Con este enunciado ¿Es posible saber el número de oraciones analizadas por Pablo? Razona la respuesta.

INDICACIÓN.- Si la respuesta es afirmativa halla el número total de oraciones analizadas por Pablo, en caso negativo añade lo que creas que le falte al enunciado y después halla el total de oraciones.


(8) En dos vasijas hay la misma cantidad de agua, sacamos 26 litros de una de ellas y lo echamos en la otra; ésta tiene ahora el triple número de litros que la primera. Con estos datos. ¿Es posible calcular el número de litros que había al principio en cada vasija?.

INDICACIÓN.- Posible error de planteamiento es que escriba la ecuación x+26=x-26 identificando letras con objetos ya que al principio las dos vasijas tienen la misma cantidad de agua.


(9) En una parcela, la piscina ocupa 20 metros cuadrados; la casa ocupa tanto como la piscina y la mitad del jardín; el jardín, tanto como la piscina y la casa juntas. ¿Cuántos metros cuadrados mide la parcela?

INDICACIÓN.- Posible error de utilizar la x para representar la superficie de la parcela y del jardín.



3.RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. POSIBLES SOLUCIONES. EJEMPLOS.


Resolución de la ecuación de primer grado:

La forma típica de esta ecuación es:

ax+b=0 (1)

Donde a y b pueden ser números reales cualesquiera.

Para resolverla se pasa al segundo miembro b restando y si a es distinto de cero pasa dividiendo y así resulta que:

x=-b/a (si a=0 se escribe de la forma ax=-b)

Discusión:

  1. Si a=0 y b distinto de 0, la ecuación (1) es incompatible, es decir no tiene solución ya que no se puede dividir por cero.


  2. Si a=0 y b=0, la ecuación (1) es indeterminada, pues adopta la forma 0x+0=0 y cualquier número la satisface, tiene infinitas soluciones.


  3. Si a es ditinto de 0 la ecuación (1) es determinada, es decir, tiene solución única y dicha solución viene dada por

    x=-b/a.






Ejemplos de resolución formal de ecuaciones:


(10) Pedro tiene 10 discos más que Juan y entre los dos reúnen 40. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

SOLUCIÓN.-

Llamando x a los discos que tiene Juan, Pedro tendrá 10+x y entre los dos suman 40, es decir, tenemos la ecuación:



Así que Juan tiene 15 discos y Pedro 15+10= 25 discos.


(11) En una sala hay un cierto número de personas. Sale primero la mitad, luego los 5/7 de los que quedaban y, finalmente, 1/7 de los que había al principio. Si sabemos que aún quedan 30 personas en la sala. ¿Cuántas personas había al principio?

SOLUCIÓN.-

Llamando x al número de personas que había al principio.

Los cinco séptimos de los que quedaban:

Un séptimo de los que había al principio:

Ecuación resultante:

Operando se llega a:



¿Qué significa esto?

Al restar del número x de personas que había en la sala, el número de las que salen, nos encontramos que ese número es también x, es decir, salen todas las personas que había y por eso nos sale en el primer miembro de la ecuación 0x, y en el segundo miembro, de acuerdo con el enunciado del problema, 30. Si han salido todas las personas que estaban no pueden quedar dentro 30, el problema no tiene solución.

En este ejercicio concuerda la interpretación del problema con la solución de la ecuación


(12) A un chico le preguntan la edad de su padre y contesta así: Si al doble de mi edad se le suman 6 años más que la edad de mi padre y a la mitad de esa suma se le quitan 18, resulta la mitad de la edad de mi padre. El chico tiene 15 años. ¿Cuántos años tiene el padre?

SOLUCIÓN.-

LLamando x a la edad del padre:

Edad del chico:

15



El doble de ésta:

2·15=30



Edad del padre más 6:

x+6



Doble de la edad del chico, más la edad del padre más 6 años, partido por 2 menos 18:





Planteamiento final de la ecuación:



Resolviendo nos queda:



¿Qué significa ahora este resultado?

Cualquiera que sea el valor de x, se nos verifica la última ecuación y, por tanto, se nos verifica la primera, que es equivalente a ella. Por lo tanto esta ecuación tiene infinitas soluciones.

Al decir que la ecuación tiene infinitas soluciones, no quiere decir que las tiene el problema, es decir, el padre de éste chico no tiene cualquier número de años. Es que el chico ha enunciado mal el problema.


(13) El consejo de administración de un sociedad anónima es tal que si del cuádruplo del número de sus individuos se quita la mitad, quedan 40. ¿Cuántos consejeros tiene la sociedad?

SOLUCIÓN.-

Sea x el número de personas que componen el consejo.

Planteamiento:

Resolución:



El problema es imposible porque las solución tendría que ser un número entero.


(14) Resolver las ecuaciones:




4. OTRAS ACTIVIDADES



(15) Un zorro perseguido por un galgo, le lleva 50 saltos de ventaja, y da cuatro saltos mientras el galgo da tres; pero dos saltos del galgo equivalen a tres del zorro. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar al zorro?


(16)Un niño nació en noviembre, y el diez de diciembre tiene una edad igual al número de días transcurrido del uno de noviembre al día de su nacimiento; halla la fecha de nacimiento de dicho niño.


(17) Un señor da todas las tardes un paseo hasta una fuente que dista 5 km. de su casa y tarda una hora en llegar a ella. Su perro, que conoce la costumbre de su amo, sale a velocidad doble hasta llegar a la fuente; llegado a ella, regresa hasta encontrar a su amo, vuelve a la fuente, regresa hasta encontrar a su amo y así sucesivamente hasta que ambos están en la fuente.¿Cuántos km recorre el perro en total?


(18) La profesora de educación física, coloca a todos sus alumnos exactamente en filas de ocho con objeto de facilitar su evaluación. Si los hubiese colocado en filas de siete habría habido exactamente dos filas más. ¿Cuántos alumnos tiene la profesora?


(19) El barco que hace la travesía Algeciras-Ceuta (Virgen de África) tiene 12 pasajeros más de segunda clase que de tercera. Un billete de segunda clase cuesta 2400 pts., y un billete de tercera 1800. Sabiendo que lo recaudado por la segunda clase excede en 76800 pts. a lo recaudado por la tercera, hallar el número de pasajeros de cada clase.



5. ACTIVIDADES INTERDICIPLINARES.


(20) RESISTENCIAS CONCECTADAS EN PARALELO.

Dos resistencias R1 y R2 copnectadas en paralelo se pueden sustitutir por otra resistencia equivalente que designamos por Re que está relacionada con las anteriores por la fórmula:

Despeja la resistencia equivalente.


(21)LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

"Dos cuerpos cualesquiera se atraen uno al otro con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos".

Escrito en términos algebraicos sería:

Siendo G una constante, despeja d.


(22)TRABAJO Y POTENCIA. RELACIÓN ENTRE AMBOS

En su forma más simple, el trabajo se define como la fuerza multiplicada por la distancia a través de la cuál actúa ésta.

Trabajo=Fuerza·Distancia

Algebraicamente

T=F·E

La potencia se define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo. Escribe la fórmula de la potencia en función de F y E. Una vez obtenida dicha fórmula, depeja de ésta el tiempo.


FIN