Problema 2.1:
Cálculo de la media aritmética y la desviación típica :

Debemos obtener las marcas de clase, xi , y aplicar las fórmulas:
 Para la media : 
Para la desviación típica:  , siendo 
Peso
xi
fi
xi.fi
x i2.f i
[10,12)
11
4
44
484
[12,14)
13
7
91
1183
[14,16)
15
13
195
2925
[16,18)
17
10
170
2890
[18,20]
19
6
114
2166
Suma
 
N=40
614
9648
 
 		  La media aritmética es: 
 =  614 / 40 = 15.35 
La varianza es: 
  = 
= (9648/40)-15.352 = 5.5775 

La desviación típica es: 
=2.3617
¿Entre qué valores se encuentran los veinte pesos centrales?

Los veinte pesos centrales representan el 50% de los pesos, como son centrales, serán menores que ellos el 25% de los pesos y superiores el otro 25%. En términos de cuantiles el 50% de los pesos centrales se encuentran entre el cuartil primero, Q1 , y el tercero, Q 3 Para calcularlos debemos encontrar los intervalos que los contienen y aplicar las fórmulas:
 
Donde :

 
Peso
xi
fi
Fi
[10,12)
11
4
4
[12,14)
13
7
11
[14,16)
15
13
24
[16,18)
17
10
34
[18,20]
19
6
40
 		 El intervalo que corresponde a Q1 es aquel cuya frecuencia absoluta acumulada, Fi supera por primera vez a N/4 = 10, en  nuestro caso el intervalo [12,14), por tanto : 

Li=12, c i=2, F i-1=4, f i=7 
Q1= 12 + 2.( (10 - 4) / 7 ) = 13.7143 
 
 
Para  Q3, el intervalo es aquel cuya frecuencia absoluta acumulada supera por primera vez a 3N/4 = 30, en nuestro caso es el intervalo [16,18), por tanto:

    Li=16, c i=2, F i-1=24, f i=10        Q3= 16 + 2 . ( (30 -2 4) / 10 ) = 17.2

Representación del polígono de frecuencias absolutas acumuladas:
 

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Problema 2.2:
 
Cálculo de la recta de regresión de Y sobre X

La expresión que nos da la recta de regresión de Y sobre X es:

 
 
xi
yi
x i2
y i2
xi.yi
2
69
4
4761
138
3
60
9
3600
180
4
52
16
2704
208
5
45
25
2025
225
6
39
36
1521
234
7
34
49
1156
238
8
30
64
900
240
S=35
S=329
S=203
S=16667
S=1463
 		 La media aritmética de X es: 
 =  35 /7 = 5 
La media aritmética de Y es: 
= 329 / 7 = 47 
La varianza de X es: 
  = (203/7)-52 = 4  

La covarianza es: 
=(1463/7)-235= -26 
 
Por tanto, la recta de regresión es:    Y - 47 = (-2 / 13 ). ( X - 5 )

Obtención de precios estimados:

Para obtener el precio estimado de una motocicleta con 9 años de antigüedad, utilizaremos la recta de regresión , dando a X el valor X=9, y obtenemos un valor de Y = 44.847 miles de pesetas, es decir, su precio estimado sería de 44847 pesetas.

Análogamente, con una antigüedad de 15 años se obtiene un precio estimado de 43923 pesetas.

Para analizar la validez de las predicciones debemos calcular el coeficiente de correlación lineal entre las variables X e Y:
     , debemos obtener las desviaciones típicas de X e Y;
Desviación típica de X: = 2
Desviación típica de Y: sy2 =(16667 / 7) - 472 = 172 , por tanto,  sy= 13.11

Sustituyendo en la fórmula: r = - (26 / 26.22) = - 0.99
Este valor del coeficiente de correlación muy próximo a -1 nos indica que existe una fuerte correlación lineal negativa ( al crecer X disminuye Y) entre las variables X e Y, y por tanto la fiabilidad de las estimaciones es muy alta.
 

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Problema 2.3:

Completar los datos de la tabla:

Para completar la tabla utilizaremos las siguientes relaciones:

1. f r = f / N
2. F 1 = f 1
3. F i = F i-1 + f i
4. F8= N

Según la relación (2) tenemos F 1 = f 1= 2
Según la relación (1) tenemos f r1 = f1 / N , es decir, N = f1 / fr1= 2 / 0.04 = 50
Según la relación (3) tenemos  F 2 = F 1 + f 2, es decir,  f 2 = F 2 - F 1= 6 - 2 = 4
Según la relación (1) tenemos f r2 = f2 / N = 6 / 50 = 0.12
Según la relación (1) tenemos  f r = f / N, que aplicado a f 3 ,  f 3 =fr3.N = 8
Según la relación (3) tenemos  F 3 = F 2 + f 3 = 6 + 8 = 14
Según la relación (3) tenemos  F 4 = F 3 + f 4 = 14 + 6 =20
Según la relación (1) tenemos f r4 = f4 / N = 6 / 50 = 0.12
Según la relación (3) tenemos f 5 = F 5 - F 4= 30 -20 = 10
Según la relación (1) tenemos f r5 = f5 / N = 10 / 50 = 0.2
Según la relación (3) tenemos  F 6 = F 5 + f 6 = 30 + 5 = 35
Según la relación (1) tenemos f r6 = f6 / N = 5 / 50 = 0.1
Según la relación (1) tenemos  f r = f / N, que aplicado a f 7 ,  f 7 =fr7.N = 10
Según la relación (3) tenemos  F 7 = F 6 + f 7 = 35 + 10 = 45
Según la relación (4) tenemos F8= N = 50
Según la relación (3) tenemos  F 8 = F 7 + f 8, es decir,  f 8 = F 8 - F 7= 50 - 45 = 5
Según la relación (1) tenemos f r8 = f8 / N = 5 / 50 = 0.1

La tabla completa es :
 
X
f
F
fr
1
2
2
0.04
2
4
6
0.08
3
8
14
0.16
4
6
20
0.12
5
10
30
0.2
6
5
35
0.1
7
10
45
0.2
8
5
50
0.1
 		 Una  gráfica que representa a la función es el diagrama de barras de las frecuencias absolutas: 

 

Cálculo de la media, la moda y la desviación típica:
 
 
X
f
x.f
x2.f
1
2
2
2
2
4
8
16
3
8
24
72
4
6
24
96
5
10
50
250
6
5
30
180
7
10
70
490
8
5
40
320
N=50
S=248
S=1426
 		 La media aritmética de X es: 
 =  248 / 50 = 4.96 

La moda es el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta:  
En este caso la distribución es bimodal y las dos modas son   Mo1=5, y Mo2=7 

La varianza de X es: 
  = (1426/50)-4.962 = 3.918  
La desviación típica es:  
=1.98 
 
 

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Problema 2.4:

Cálculo de la media y la mediana:

Obteniendo las marcas de clases, la tabla nos queda:
 
 
Puntuaciones
x
f
x.f
F
x2.f
(38,44]
41
4
164
4
6724
(44,50]
47
12
564
16
26508
(50,56]
53
10
530
26
28090
(56,62]
59
30
1770
56
104430
(62,68]
65
20
1300
76
84500
(68,74]
71
8
568
84
40328
(74,80]
77
6
462
90
35574
 
 
N=90
S=5358
 
S=326154
 		 La media aritmética de X es: 
 =  5358 / 90 = 59.533 

La mediana se encuentra en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada supere por primera vez a N/2=45, es decir, en  (56,62]. 
Debemos aplicar la fórmula: 
 
 
Donde :

Así: Me = 56 + 6 .( ( 45 - 26) / 30 ) = 59.8

Cálculo del coeficiente de variación y el rango intercuartílico:

El coeficiente de variación viene dado por la fórmula: , nos hará falta calcular la desviación típica :

La varianza de X es:
  = (326154 / 90) - 59.532 = 79.715 
La desviación típica es: 
= 8.928

C.V. = 8.928 / 59.533 = 0.15
 

El rango intercuartílico viene expresado por : R = Q3 -Q1 
Siendo::
 
El intervalo donde se encuentra Q1 es el primero cuya frecuencia absoluta acumulada supera por primera vez a N/4= 22.5, es el intervalo (50,56]:
Q1= 50 + 6.( (22.5-16) / 10 ) = 53.9

El intervalo donde se encuentra Q3 es el primero cuya frecuencia absoluta acumulada supera por primera vez a 3.N/4= 67.5, es el intervalo (62,68]
Q3= 62 + 6.( (67.5-56) / 20 ) = 65.45
 Por tanto, el rango intercuartílico es R = 65.45 - 53.9 = 11.55

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