Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos:
 
    Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento debemos hacer un estudio del signo de f ' (x):  f ' (x) = 4x³ - 2x ; sus raíces son 0.7 y -0.7, y el estudio del signo da como resultado:

Signo de f ' 
y teniendo en cuenta que para la función f se verifica (al ser continua y derivable):

• si   f '(x ₀) > 0, entonces f es creciente en  x ₀
• si   f '(x ₀) < 0, entonces f es decreciente en x ₀

Los intervalos de crecimiento son : (-0.7 , 0) y (0.7 , +)

Los intervalos de decrecimiento son : (-, 0.7) y (0 , 0.7)

Obtención de máximos y mínimos:
Observamos que en los valores x = -0.7 y x = 0.7, se producen cambios de decrecimiento a crecimiento, se tratan por tanto de mínimos relativos de f. Así mismo en x = 0 se produce un cambio de crecimiento a decrecimiento, correspondiendo a un máximo relativo:
En resumen, hay tres extremos relativos:

• Mínimo relativo en (-0.7 , f(-0.7)), es decir m ₁ (-0.7 , -0.25)
• Mínimo relativo en (0.7 , f(0.7)), es decir  m ₂  (0.7 , -0.25)
• Máximo relativo en (0 , f(0)) = (0 , 0), es decir M(0 ,0)

La concavidad y convexidad de una función vienen determinadas por el signo de f '':

• si   f ''(x ₀) > 0, entonces f es cóncava en  x ₀
• si   f ''(x ₀) < 0, entonces f es convexa en  x ₀

Los intervalos de concavidad son : (-, -0.4) y (0.4, +)
El intervalo de convexidad es : (-0.4 , 0.4)

Gráfica de la función:
La gráfica de la función es:
 

 
 
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Problema 1.2:
Gráfica de la función :

En la gráfica de f(x) no se observa con detalle que es lo que ocurre en las cercanías de x=0. Si dibujamos sólo el dominio [-1, 1]:

 

Estudio de la continuidad de la función :
f(x) es la composición de las funciones g(x)= Ln x  , y  :

g(x)  es continua en (0 , +)
h(x) es continua en (-, +), ya que su denominador no se anula nunca, y además h(x)>0

Concluimos, por tanto, que f(x) es continua en (-, +). En la gráfica de f(x) se puede observar su continuidad.

Estudio de la derivabilidad de :
Consideremos de nuevo la composición f = goh :
g(x)= Ln x , es derivable en (0, +) , siendo g'(x)=1/x
h(x)= 1/ (1+x² ), es derivable en (-, +) , siendo h ' (x) = -2x/(1+x²)² y h(x)>0

Por tanto, f es derivable en (-, +).
 
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Problema 1.3:

Gráfica de f(x)=sen(|x|) :

Estudio de la continuidad de f(x)=sen(|x|) :

f(x) es la composición de dos funciones continuas en  (-, +), f=goh:
siendo g(x)=sen x,  y h(x)=|x|, por tanto, f es continua en  (-, +).

Estudio de la derivabilidad de f(x)=sen(|x|) :

Considerando la composición f=goh, tenemos:
g(x)=sen x    es derivable en (-, +)
h(x)=|x|    es derivable excepto en x=0, por tanto podemos garantizar que f es derivable excepto en x=0. Estudiemos la derivada en este punto:
 
Así, f no es derivable en x=0
 
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Problema 1.4 :

Estudio de la continuidad de    :

f es una función a trozos:

En el subdominio (-, 1)  ,  f(x)=1/x  no es continua en x=0, ya que:

En el subdominio [1 , +),  f(x)=2x-1 es continua.

En el punto que enlaza los subdominios, x=1, se hace necesario estudiar los límites laterales:
, por tanto, f es continua en x=1.

En resumen, f es continua en toda la recta real, excepto en x=0, donde existe una asíntota vertical.

Dibujo de la gráfica de   :

 
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Problema 1.5:

Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)=|x² - 1| :

Estudiemos el signo de f ' :
Considerando la función f como función a trozos, tenemos :

     ,

y  para su derivada: , no siendo derivable en los puntos x=1 ,  x= -1.

Estudiando el signo de f ' : 
Tenemos:
Intervalos de crecimiento : (-1, 0.5) y (1, +)
Intervalos de decrecimiento : (-, -1) y (0.5 , 1)

Extremos relativos de  f :

Según hemos visto se producen cambios de monotonía en x=-1, x=0.5 y x=1. Por lo tanto, teniendo en cuenta el carácter del cambio los extremos relativos están en :
En x=-1 y en x=1 hay mínimos relativos y en x=0.5 hay un máximo relativo.

En resumen,  hay tres extremos relativos:

• Mínimo relativo en (-1 , f(-1)), es decir m ₁ (-1 , 0)
• Mínimo relativo en (1 , f(1)), es decir  m ₂  (1 , 0)
• Máximo relativo en (0.5 , f(0.5)), es decir M(0.5 , 0.75)

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