Problema 3.1:

Obtención una matriz X que verifique la igualdad A.B - X = A2:
 
 Despejando de la ecuación X = A.B - A2 = A(B-A)

Cálculo de |X| :

|X| = 1

Cálculo de la inversa de X:

La inversa de X existe, ya que es condición necesaria y suficiente para la existencia de la inversa que el determinante de la matriz sea distinto de cero.
Una fórmula para obtener la inversa de a es : X-1= (1 / |X|).Adj ( Xt )
Siendo Xt la matriz que se obtiene sustituyendo cada elemento xij  de la matriz X por xji:
.
La matriz Adj(Xt) se obtiene sustituyendo cada elemento de Xt por su adjunto.
Por tanto X-1= 1.Adj(Xt) =Adj( Xt)

 
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Problema 3.2:

Valores de "a" para los que no existe la inversa de A.B:

Obtenemos la matriz A.B: 
Sabemos que no tendrá inversa para los valores de "a" que hagan cero |A.B|
Calculemos |A.B|:
|A.B|= 0 , independientemente del valor de "a" . Por tanto cualquier valor de "a" hará que no exista la inversa de A.B

Cálculo de la inversa de B.Bt:

Llamando X a B.Bt
 X=  . Calculamos |X|=50-9=41 , que al ser distinto de cero nos garantiza la existencia de X-1 : X-1= (1 / |X|).Adj ( Xt )

 
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Problema 3.3:

Cálculo de la matriz inversa de A:

Cálculo de |A| = 1, por tanto, existe la inversa de A:  A-1= (1 / |A|).Adj ( At )

Cálculo de A25:
Calculo de las primeras potencias de A:

Según observamos hay una clara ley de recurrencia de la que podemos deducir que:

 
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Problema 3.4 :

Determinación del valor de M para el que no puede resolverse el sistema mediante el método de Cramer:

El método de Cramer se puede aplicar cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
La matriz de los coeficientes es : , y su determinante es |A|=M2+6M-16
Los valores de M que anulan al determinante de A son las raíces de la ecuación M2+6M-16=0, que son M=-2 y M=8

Resolución del sistema para M=-1

El sistema queda: , aplicando el método de Cramer para obtener la incógnita x: 
Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación obtenemos  2-3y=-1, despejando y=1
Sustituyendo finalmente los valores de x e y en la primera o segunda ecuación se obtiene z=-1
Solución: x=2, y=1, z=-1

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Problema 3.5:

Resolución del sistema:
Lo resolveremos utilizando el método de Gauss:
El método de Gauss nos permite obtener un sistema de ecuaciones equivalente al dado, de matriz triangular. Para ello, dispone cada ecuación como una fila de la matriz de Gauss, y sustituye en cada paso una ecuación por una combinación lineal de las ecuaciones del sistema:
 

En el paso 1, P1, se sustituye la tercera ecuación por  E3-E1
En el paso 1, P2, se sustituye la tercera ecuación por  E3+2E2

 Obteniendo como sistema equivalente:
, cuya solución es: z = 9, y = - 6, x = 8

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando sólo la tercera ecuación?

Si, ya que sería suficiente cambiar la tercera ecuación por otra que sea combinación lineal de las dos primeras.
 
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