Actividades propuestas

1. Encuentra las expresiones algebraicas correspondientes a las siguientes magnitudes e interpreta el significado de cada letra:
1. El área de un rectángulo.
2. El perímetro de un rectángulo.
3. La diagonal de un cuadrado.
4. El área de un círculo.
5. El volumen de un cubo.
6. La velocidad de un móvil.

Solución


2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
1. El doble de la suma de dos números.
2. El duplo de un número menos cinco.
3. La media aritmética de dos números.
4. La mitad de un número menos otro.
5. Dos números enteros consecutivos.
6. Al doble de mi edad le sumo seis.
7. El cuadrado de la suma de tres números.
8. La suma de los cuadrados de dos números.

Solución

3. Calcula el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 3 cm. Una pista la tienes en la Actividad 2 c)


Solución


4. Calcula el área de un rectángulo de base 5 cm. y altura 3 cm. Ver Actividad 2 a)
   
   Solución
   

5. Comprobemos si las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes o no:
1. (a-b)² y a²-2ab+b²

   Puede comprobarse con algunas parejas de valores de a y b que se obtiene el mismo valor numérico al sustituir en ambas expresiones algebraicas:

   

   Probemos a demostrar la equivalencia de forma geométrica, análogo a como se hizo con (a+b):²
   

   El cuadrado de la figura tiene por lado a, luego su área es:

   A=a²

   
   Pero A se puede expresar como suma de las áreas de las figuras interiores del cuadrado:
   

   luego igualando:

   

   por tanto, son expresiones algebraicas equivalentes.

2. a²-b² y (a-b).(a+b)

   Intenta hacerlo geométricamente
   

   Solución
   

6. ¿Son identidades o ecuaciones las siguientes expresiones algebraicas?:
   

   Solución
   

7. Emplea el método de deshacer para resolver las ecuaciones:
   

   Solución

8. Representa mediante una balanza una situación expresada por la ecuación:
   

   Coge como x el peso de una lata. Y halla su valor.
   
   Solución

9. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de transposición:
   

   Solución

10. Comprueba con el método de transposición que la solución de
    

    es x=21

    Solución

11. Aplica el método de las iteraciones para resolver la ecuación:
    

    Solución

12. Cuadrados mágicos

    La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo antiquísimo, que se remonta a la antigua China.

    Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal, que todas las filas, columnas y diagonales, que se suelen llamar líneas del cuadrado, dan la misma suma. El cuadrado adjunto es un cuadrado mágico de orden 3 por tener en cada línea tres elementos; todas sus líneas suman 15; a 15 se le llama el número mágico del cuadrado.

    8	3	4
    1	5	9
    6	7	2

    Sorprendentemente, el los cuadrados de orden impar, el orden del cuadrado, multiplicado por el número central del cuadrado, es igual al número mágico: puedes comprobarlo en el ejemplo anterior.

    Cuadrado mágico algebraico nº 1

    2x+2	x	x+1
    x-2	x+2	5x-6
    3x-3	2x+1	x-1

    Preguntas:

    1. Escribe las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado mágico.
    2. Como ves, todas las líneas no dan la misma expresión. Sin embargo, al tratarse de un cuadrado mágico, debe existir un valor de x que haga que todas esas expresiones tomen el mismo valor. Calcula el valor de x.
    3. Otro método para hallar el valor de x es utilizar la propiedad de los cuadrados mágicos de orden impar:

       El orden del cuadrado multiplicado por el término central es igual al número mágico.

       Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central, el valor que debe tener x.
    4. Este valor de x será también solución de cualquier ecuación obtenida, igualando entre sí las sumas de otras líneas del cuadrado. Compruébalo.

    Solución

13. Cuadrado algebraico nº 2

    4(x+1)	x	2(x+2)
    4x-1	2x+3	4x+3
    (x+1)2	(x+2)2	x+1

    Preguntas:

    1. Escribe las sumas de las ocho líneas del cuadrado mágico.
    2. Calcula el valor de x para que sea cuadrado mágico. Procura hacerlo con las ecuaciones más sencillas posibles.
    3. Utilizando la suma de la tercera línea horizontal y otra cualquiera se puede obtener una ecuación de segundo grado. Resuélvela y comprueba que una de sus soluciones es el anterior valor de x.
    4. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central del cuadrado, el valor que debe tener x.
    5. Halla el cuadrado numérico correspondiente.

       Solución

14. La rueda algebraica

    

    Preguntas:

    1. Si los tres números sobre cada lado y cada radio de la rueda suman lo mismo, arréglatelas para, una tras otra, ir calculando el valor de todas las letras.
    2. Escribe la rueda numérica correspondiente.

       Solución

15. Epitafio de Diofanto

    Diofanto de Alejandría (siglo III a.C.), último geómetra importante en la matemática griega, que según la tradición dejó escrito el siguiente acertijo:

    Caminante, aquí fueron enterrados los restos de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió:

    Su juventud ocupó la sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió de vello.

    Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y su primogénito nació cinco años después. Al alcanzar éste la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirlo llorándolo, durante cuatro años más.

    Con esta información deduce su edad.

    Solución