UNIDAD DIDÁCTICA: "GRÁFICAS DE FUNCIONES"


La presente unidad didáctica fue experimentada con alumnos de 3º de E.S.O. durante el curso 1996-97 en las dos últimas semanas del segundo trimestre. Debido a las limitaciones de tiempo sólo se utilizaron 7 de las actividades previstas. Las actividades fueron extraídas de diversos materiales y presentadas a los alumnos como figuran aquí.

ÍNDICE

Objetivos de la etapa

Objetivos del Área

Objetivos Específicos de la Unidad Didáctica

Contenidos

Metodología

Actividades

Actividades propuestas por los alumnos


OBJETIVOS DE LA ETAPA

Entre todos los objetivos de la etapa de secundaria obligatoria una unidad didáctica sobre gráficas de funciones puede contribuir a desarrollar en los alumnos los siguientes:

La unidad didáctica se centrará principalmente en desarrollar las capacidades de los últimos tres objetivos.


OBJETIVOS DEL ÁREA

Los objetivos del área de Matemáticas en la E.S.O. son:

  1. Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de la realidad.
  2. Comprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e incorporarla al lenguaje y a los modos de argumentación habituales.
  3. Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiamos.
  4. Reflexionar sobre las propias estrategias utilizadas en toas actividades matemáticas.
  5. Incorporar hábitos y actitudes propios de la actividad matemática.
  6. Reconocer el papel de los recursos en el propio aprendizaje.


OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

  1. Interpretar datos representados en tablas o gráficamente, considerando para ello la situación de la que son extraídos.
  2. Elegir adecuadamente las unidades en cada uno de los ejes de coordenadas según el fenómeno estudiado y sistematizar la recogida de información.
  3. Relacionar entre sí las distintas formas de expresar una función: usando una tabla numérica, a partir de una gráfica, por descripción de una situación o mediante expresiones algebraicas muy sencillas.
  4. Reconocer y, describir algunas características globales de las funciones: crecimiento, continuidad, extremos, tendencias y puntos de corte con los ejes.
  5. Utilizar adecuadamente los términos propios de las funciones v tener un sentido crítico ante informaciones gráficas o numéricas sobre fenómenos presentados en los medios de comunicación.
  6. Interpretar funciones, comparando sus gráficas representadas sobre los mismos ejes.


CONTENIDOS

CONCEPTOS:

  1. Funciones expresadas mediante gráficas.
  2. Funciones dadas a partir de tablas de datos.
  3. Descripciones verbales y expresiones algebraicas de funciones sencillas.
  4. Características globales de las funciones.

Matizando aún más los conceptos básicos a estudiar son:

  1. Variables o magnitudes que se relacionan.
  2. Variable dependiente e independiente.
  3. Unidades de medida. Graduación de los ejes. Escala.
  4. Continuidad-discontinuidad.
  5. Crecimiento-decrecimiento.
  6. Máximos-mínimos.
  7. Periodicidad.
  8. Tendencia.
  9. Título de la gráfica.

PROCEDIMIENTOS:

  1. Elaboración e interpretación (de tablas a partir de un conjunto de datos, de gráficas o de expresiones funcionales, teniendo en cuenta el contexto en el que se producen.
  2. Reconocimiento de relaciones entre magnitudes.
  3. Interpretación y utilización del lenguaje gráfico teniendo presente la situación que se quiere representar y emplear el vocabulario y los símbolos adecuados.
  4. Uso de expresiones algebraicas para describir funciones en casos sencillos.
  5. Reconocimiento de intervalos de crecimiento y decrecimiento.
  6. Identificación e interpretación del significado de los valores extremos de una función.
  7. Identificación de gráficas de funciones continuas y discontinuas.
  8. Reconocimiento de los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.
  9. Selección de las unidades y las escalas más convenientes.
  10. Reconocimiento de las tendencias de algunas funciones.
  11. Sistematización de la toma de datos.

ACTITUDES:

  1. Valoración de la utilidad del lenguaje gráfico para representar situaciones de la vida cotidiana y cuestiones de las diferentes ciencias.
  2. Interés por conocer las relaciones existentes entre el lenguaje gráfico y otros lenguajes matemáticos.
  3. Curiosidad para buscar y encontrar relaciones entre magnitudes.
  4. Actitud critica ante el uso del lenguaje gráfico en informaciones del ámbito social, político y económico.


METODOLOGÍA

La metodología que vamos a usar en la exposición de este tema, consistirá en que a partir de actividades propuestas al alumno, deduciremos las consecuencias que nos interesen y, que nos permitan introducir los conceptos, de acuerdo con los contenidos y objetivos propuestos en la presente unidad didáctica.

Las actividades en el aula, serán realizadas en grupos de cuatro alumnos, permitiendo a cada grupo, con planteamientos diferentes de los ejercicios, exponerlos en clase.

Cada alumno tendrá en su cuaderno individual las actividades realizadas tanto individualmente como en grupo.

Para conseguir que el aluminio emplee el lenguaje matemático preciso en cada situación, le daremos libertad para que inicialmente utilice su vocabulario, pero conforme vayamos avanzando en el tema haremos más exigible un correcto lenguaje matemático.

Todos los días dejaremos una cuestión pendiente para que el alumno individualmente la inicie y lo complete en casa.

Daremos gran importancia a que el alumno vaya adquiriendo confianza en sus conocimientos y razonamientos.

Después de realizar algunas actividades de presentación-motivación, que nos sirvan para detectar las ideas previas que tienen los alumnos, se les repartirá un esquema con todos los conceptos básicos que vamos a estudiar en una gráfica.

El esquema servirá de guía para el estudio de todas las gráficas, y en cada ejercicio se responderá a las cuestiones propuestas en él y se intentará que estudien todas las características posibles de la gráfica.

Después de realizar las actividades que desarrollan el tema se propondrá a los alumnos que utilicen el esquema para realizar el estudio de una gráfica que aparezca en un medio de comunicación (periódico, revista, etc.).

Otra actividad propuesta al alumno será que busquen una gráfica e intenten proponer cuestiones sobre ella que posteriormente serán respondidas por sus compañeros.

Al final de la unidad didáctica se presentan tres actividades propuestas por los alumnos.

Esquema: ESTUDIO DE UNA GRÁFICA:

  1. Variables o magnitudes que se relacionan.
  2. Variable dependiente y variable independiente.
  3. Graduación de los ejes. Unidad de medida y escala.
  4. Continuidad-Discontinuidad:
  5. - En la gráfica ¿hay puntos o líneas?

    -¿Tiene sentido unir los puntos?

  6. Crecimiento y decrecimiento:
  7. -¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la función?

  8. Máximos y mínimos.
  9. Periodicidad.
  10. -¿Se repite la forma de la gráfica?

  11. Tendencia:
  12. -¿Qué ocurre para valores muy grandes?

  13. Título de la gráfica
  14. Tabla que relaciona las variables.
  15. Comentario sobre la gráfica.


ACTIVIDADES

De las actividades propuestas, no todas han sido trabajadas en el aula. El desarrollo de la unidad se ha realizado en las dos últimas semanas del 2º trimestre y sólo ha sido posible realizar el estudio de 7 actividades de entre las siguientes:

BOLSAS DE AZÚCAR

LA FAMILIA

TEMPERATURA

BOLAS

LLAMADAS TELEFÓNICAS

BOTES DE REFRESCOS

DADOS AZULES Y ROJOS

EL MUELLE

CONSUMO DE COMBUSTIBLE

PASEO DE DOS AMIGOS

LA EXCURSIÓN

ESTUDIAR INGLÉS

HISTORIAS

SALARIO

DE CAMPING


BOLSAS DE AZÚCAR

Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar.

  1. ¿Qué bolsa es la más pesada?
  2. ¿Qué bolsa es la más barata?
  3. ¿Qué bolsas tienen el mismo peso?
  4. ¿Qué bolsas tienen el mismo precio?
  5. ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F ó C?. ¿Por qué?.

COMENTARIO SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

Esta actividad fue la primera gráfica que trabajaron los alumnos. Al trabajar con ella se demuestra que, en general los alumnos identifican correctamente el que una bolsa es más pesada cuanto más a la derecha está el punto que la representa y más cara cuanto más arriba se encuentre.

Los resultados obtenidos al resolver cada cuestión son:

Cuestión

% Correctas

% Incorrectas

A

90%

10%

B

85%

15%

C

62%

38%

D

83%

17%

E

81%

19%

La C fue incorrecta en general porque detectaron una de las dos parejas.


LA FAMILIA

En el gráfico de abajo tenemos una fotografía de la familia López: Juan es el abuelo, los hijos de Bella y José son Pablo que va a la guardería, Pepe está estudiando 3º de E.S.O., Alicia que estudia medicina y Luis.

¿Quién está representado por cada uno de los puntos del diagrama de la derecha?

¿Es apropiada la escala utilizada? Razona la respuesta.

(Realiza las hipótesis que consideres oportunas)

Realiza una representación de toda la familia donde representes en el eje horizontal la edad y el eje vertical la altura de cada uno de ellos.

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

En esta gráfica se han analizado dos aspectos:

a)Identificar cada punto de la gráfica con cada miembro de la familia.

b)Analizar si la escala utilizada es o no correcta.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

A partir del resultado de este segundo aspecto se dirige el trabajo en clase, y se recuerda la importancia de las escalas en los ejes con explicación en la pizarra de otro ejemplo, y entonces aproximadamente un 20 % de los alumnos responde de forma acertada.


TEMPERATURAS

En un pueblo del interior se han tomado distintas mediciones de la temperatura a lo largo de un día de Enero. Éstas vienen reflejadas en la gráfica:

Comenta su significado y completa la siguiente tabla:

Hora del día

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Temperatura (ºC)

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

La totalidad de los alumnos al realizar esta actividad han completado bien la tabla sin haber explicado previamente la relación tabla-gráfica.

El comentario sobre la gráfica no ha sido dirigido, y se han obtenido los siguientes resultados:


BOLAS

Si A y B representan bolas de distinto material y tamaño, a la vista de los diagramas, indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:

Nota: Elige el diagrama adecuado a la vista de las magnitudes que vayas a comparar en cada caso.

  1. La que tiene más volumen, tiene más peso.
  2. La que tiene menos peso, tiene más volumen.
  3. La que tiene más peso, cae más rápidamente.
  4. La que tiene más volumen cae más rápidamente.


LLAMADAS TELEFÓNICAS

Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas telefónicas a varias partes del país. Anotaron el coste de sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el teléfono en la siguiente gráfica:

Responde razonadamente las siguientes cuestiones:

  1. ¿Qué variables se están relacionando?
  2. ¿Quién pagó más por la llamada?
  3. ¿Quién pagó menos por la llamada?
  4. ¿Quién habló durante más tiempo?
  5. ¿Quién puso una conferencia?
  6. ¿Quién realizó una llamada local?
  7. ¿Quiénes realizaron llamadas aproximadamente a la misma distancia?
  8. Marca otros puntos que representen a personas que realicen llamadas locales de distintas duraciones.
  9. Realiza un gráfico con todas las posibles llamadas telefónicas realizadas dentro de España en un fin de semana. Explica claramente las suposiciones que haces.

COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

La metodología que se ha utilizado ha sido:

  1. Trabajo individualizado, contestando a las 8 cuestiones.
  2. Se realizó la corrección del ejercicio por parte del profesor.
  3. Los alumnos la trabajaron en grupo teniendo que llegar como grupo a unificar el resultado.
  4. Se hizo una puesta en común de los resultados de todos los grupos.
  5. Los alumnos tuvieron que sacar de las guías telefónicas las diferentes tarifas (locales, provinciales y nacionales) de un fin de semana.

Los resultados obtenidos en la prueba individualizada son:

Cuestión

% Correctas

% Incompletas

% Incorrectas

A

87%

13%

B

55%

32%

13%

C

53%

30%

17%

D

58%

27%

15%

G

40%

60%

H

30%

70%

E. En esta pregunta hubo contestaciones de todo tipo:

Todos pusieron una conferencia

4%

Solo Pepe puso una conferencia

46%

Todos menos Ana

16%

Pepe y María

15%

Pepe y Bella

10%

Otras

9%

F. Las respuestas fueron:

Ana

52%

Ana y Bella

18%

Ninguno

4%

Todos menos Pepe

13%

María y Ana

5%

Otras

8%

Tuvieron muchas dificultades para encontrar en las guías las tarifas, y después de encontrarlas la mayoría no sabía interpretar la información de tarifas que aparece en las guías telefónicas.


BOTES DE REFRESCOS

El número de botes de refrescos vendidos a través de una máquina en una estación de cercanías está indicado por la tabla siguiente:

Hora del día

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Temperatura (ºC)

  1. Haz una representación gráfica.
  2. ¿Cuál es la hora de mayor consumo?
  3. ¿Cuántos se han consumido hasta las 11 h.?
  4. Si la capacidad de la máquina es de 100 botes, ¿a qué hora se ha rellenado?
  5. ¿Puede representar una situación real esa tabla? ¿Por qué?
  6. Realiza otra tabla suponiendo que la máquina se coloca en el patio de tu centro.


DADOS AZULES Y ROJOS

Vamos a lanzar un par de dados sobre una mesa, uno azul y otro rojo y sumaremos sus resultados. Podemos representar los lanzamientos situando un punto en la trama:

  1. ¿Qué representa el punto marcado?
  2. Representa los posibles resultados de obtención de 9. ¿Qué se observa gráficamente?. ¿Se pueden unir los Puntos obtenidos? Razona tu respuesta.

COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

Esta actividad representó bastante dificultad para los alumnos, en principio no entendían el significado de la palabra trama y aunque algunos supieron que representaba el punto señalado, la mayoría necesito de la aclaración del profesor para entender lo que significaban los ejes y el punto de la trama.

Después de poner varios ejemplos de posibles resultados la mitad de los alumnos realizaron una especie de tabla donde aparecían los posibles valores de los dados para la obtención de un 8. A ninguno se le ocurrió utilizar números negativos ni decimales pero dos alumnos consideraron los pares de puntos (0, 8), (1, 7), (8, 0) y (7, l).

La representación de los puntos la realizaron todos bien. No hubo ningún alumno que obtuviera una relación funcional entre las dos variables relacionadas.

Con respecto a la pregunta de qué se observa gráficamente algunos alumnos respondieron después de contestar a la de unir los puntos, que en todos los casos era afirmativo.


EL MUELLE

Si colgamos un muelle por un extremo y, aplicamos un peso en el otro, se produce un alargamiento que se refleja en la tabla:

Peso (g.)

100

200

300

400

Alargamiento (cm.)

  1. Representa estos datos.
  2. Indica el alargamiento producido al colocar un peso de 500 gramos.
  3. ¿Qué peso correspondería a un alargamiento de 12,5 cm?
  4. Da alguna relación entre peso y el alargamiento.
  5. ¿Estarían sobre una misma recta los datos representados? ¿Por qué?


CONSUMO DE COMBUSTIBLE

El gasoil que hay en un depósito de un autobús viene representado por la siguiente gráfica:

  1. ¿Cuántos litros tenia el depósito al salir?
  2. ¿Cuántos litros tenia a su llagada?
  3. ¿Cuándo puso el conductor por primera vez gasoil? ¿Cuántos litros tenía el depósito?
  4. ¿Cuántos litros consumió durante el viaje?
  5. ¿Qué ocurrió en el km. 250?

COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

Los resultados obtenidos al resolver cada cuestión son:

Cuestión

% Correctas

% Incorrectas

A

46%

54%

B

38%

62%

C1

58%

42%

C2

23%

77%

D

12%

88%

E

42%

58%

A continuación vamos a comentar las respuestas incorrectas:

A)Un gran porcentaje de alumnos responde 120 litros pensando que es la capacidad del depósito y que está lleno al comenzar el viaje. Un alumno responde 10 litros.

B)En este caso el error cometido por los alumnos es de precisión ya que muchos ponen 90 litros, otros responden 100 1. intercambiando los litros de llegada con los de la última salida.

C1)La mayoría de los alumnos que fallaron dejaron la respuesta en blanco.

C2)Como en la cuestión anterior hay muchos alumnos que no responden, otros dan como respuesta el número de litros que puso el conductor, y por último hay dos alumnos que responden 80 litros.

D)La respuesta errónea más usada es 100 litros.

E)En este caso las respuestas eran ciertas pero incompletas.


PASEO DE DOS AMIGOS

Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada.

RESPONDE:

  1. ¿Qué variables se relacionan?
  2. ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente?
  3. ¿Cuánto dista la casa de Alicia de la de Rafa?
  4. ¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia?
  5. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería?
  6. ¿A qué hora salieron de la cafetería?
  7. ¿A qué casa regresaron?
  8. ¿Cuánto tiempo pasearon los dos juntos?
  9. ¿Cuándo pasearon más deprisa: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al final del paseo? ¿Por qué?

COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS

Esta actividad se les propuso a los alumnos en un examen, comentaremos las cuestiones una por una:

  1. La mayoría de los alumnos respondieron que las variables eran las horas y el espacio, sólo el 6 % de ellos comentaron que la variable era el tiempo y la unidad de medida las horas. Ningún alumno definió la variable espacio como distancia a la casa de Rafa.
  2. La respuesta dada por los alumnos fue en su mayoría:
  3. VAR. DEP. = Y VAR. INDEP. = X

  4. El 80% de los alumnos respondieron correctamente a esta cuestión.
  5. Igual que en la anterior.
  6. Igual que las anteriores.
  7. Todos los alumnos relacionaron bien las dos variables de forma puntual.
  8. Aunque en el examen se aclaró esta pregunta el 50% de los alumnos respondieron que regresaron a casa de unos compañeros, no tuvieron en cuenta la gráfica y se guiaron solamente por el texto que describe el paseo.
  9. Los resultados obtenidos son:

La mitad de los alumnos responde correctamente a la primera pregunta pero solo el 20% de ellos es capaz de razonarla.


LA EXCURSIÓN

Se alquila un microbús de 12 plazas para realizar una excursión, por un total de 36.000 pesetas:

  1. Haz una tabla del precio de la excursión por persona, en función de las plazas cubiertas.
  2. Representa los datos de la tabla en un diagrama (número de pasajeros-precio).
  3. ¿Puedes establecer alguna relación entre las dos variables?
  4. ¿La variable independiente es discreta o continua?
  5. ¿Tiene sentido unir mediante una línea los puntos de la gráfica? ¿Por qué?


ESTUDIAR INGLES

Cuando empecé a estudiar inglés, el primer mes no me enteraba de nada. Los tres meses siguientes me ilusioné porque aprendía muy rápidamente. La ilusión decayó un poco el cuarto y el quinto mes porque ya no lo veía claro. Los tres últimos meses del curso me parecía que no avanzaba apenas.

Representa la evolución del aprendizaje a lo largo de los meses del curso.


HISTORIAS

Inventa una historia para cada una de las gráficas siguientes:

En la segunda gráfica, elige también las magnitudes, las unidades y las escalas.


SALARIO

Un oficial gana 1.500 ptas. a la hora y su ayudante 1.000 ptas. a la hora. Un día, el ayudante empieza a trabajar a las 8 de la mañana y el oficial a las 10.

  1. ¿Cuánto dinero lleva ganado cada uno a las 10 y las 11 de la mañana?
  2. El oficial y, su ayudante siguen trabajando hasta las 15 horas. Construye una tabla en la que reflejes hora a hora el dinero que va ganando cada uno de ellos.
  3. Representa gráficamente los valores de la tabla. ¿A qué hora han ganado la misma cantidad?
  4. ¿Puedes deducir la expresión algebraica o fórmula que determina lo que gana el oficial según las horas trabajadas? ¿Y de su ayudante?


DE CAMPING

Varios amigos deciden ir al camping y llevan una cuerda para delimitar su territorio. Se colocan junto a un riachuelo por lo que el recinto rectangular que forman con los 50 m de cuerda sólo tiene tres lados (2 anchos y 1 largo).

  1. Si deciden formar un recinto de 15 m de anchura ¿cuál será su longitud?
  2. ¿Cómo cambia la longitud cuando varía la anchura?
  3. ¿Cuál será el área del recinto según su anchura?
  4. Dibuja una gráfica aproximada que describa B) y C).


ACTIVIDADES PROPUESTAS POR LOS ALUMNOS

Se recogen a continuación tres actividades propuestas por los alumnos. Las actividades no han sido modificadas ni se han corregido los errores de expresión que puedan tener. Debido a la finalización de1 trimestre no ha sido posible proponer las actividades al resto de los compañeros.

LA PESETA

Dada la gráfica:

  1. ¿Qué se representa en cada eje?
  2. ¿Cuál es la moneda más valiosa, el dólar o el marco?
  3. ¿Por qué en la gráfica peseta/dólar los puntos no coinciden con los días justos?
  4. Ordena de mayor a menor el valor de la peseta, marco y dólar.
  5. ¿Cuál ha sido el día más favorable para la peseta en la gráfica peseta/dólar? ¿y en peseta/marco?

BANCO EXTERIOR

  1. ¿Cuáles son las magnitudes que se relacionan?
  2. ¿En qué unidades están expresadas?
  3. ¿Hay continuidad en la gráfica?
  4. ¿Cuál es la escala utilizada?
  5. ¿Es la escala adecuada o se debería usar otra?
  6. ¿Cuánto precio tienen las acciones del Banco Exterior en Julio del 96?
  7. ¿Cuándo se alcanza el máximo?
  8. ¿Cuál es el máximo precio que adoptan?
  9. ¿Cuándo se alcanza el mínimo?
  10. ¿Cuál es el precio que adoptan?
  11. ¿Qué pasa durante el mes de Junio de 1996?

MORTALIDAD

Dada la gráfica:

  1. ¿Qué magnitudes se relacionan?
  2. ¿Cuál es la graduación horizontal?
  3. ¿Y la vertical?
  4. ¿En qué año es más alta la tasa de mortalidad?
  5. ¿Qué sentido tiene unir los puntos?
  6. ¿Qué tanto por mil de mortalidad hay en 1900?
  7. ¿Qué ocurre desde 1943 a 1963 aproximadamente?
  8. ¿En qué año es más baja la tasa de mortalidad?
  9. Haz un comentario sobre la gráfica.
  10. ¿Qué otros datos se pueden extraer de la gráfica?