Prácticas de Poliedros

Luis Pérez Bernal

Introducción

Estas prácticas fueron elaboradas dentro del Proyecto Taller de Matemáticas que se llevó a cabo durante varios cursos en diversos Institutos de Málaga y del que fui coordinador. Uno de sus objetivos era el análisis de materiales manipulativos y la elaboración de prácticas para los alumnos que no precisasen la atención del profesor.

El material con el que se realizan estas prácticas (PLOT) consiste en polígonos troquelados con pestañas que se engarzan mediante gomas elásticas.

Se ofrecen dos versiones de la práctica de poliedros regulares que responden a la diversidad de opiniones en el grupo de profesores. La primera fija el criterio en el orden de los vértices y la segunda en el número de lados de los polígonos usados como caras. En una el conflicto se lleva a los seis triángulos; en la otra, a los tres hexágonos.

La imagen que se incluye al principio (es de uso libre para fines no comerciales) procede del único sitio que he encontrado en la telaraña. Es del profesor George W. Hart. Department of Computer Science. Hofstra University. Es una enciclopedia sobre Poliedros con muchas referencias e imágenes (incluidas esculturas) estupendas.


ÍNDICE


POLIEDROS REGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

Los poliedros regulares están formados con polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.


ACTIVIDAD 1. El tetraedro.

Empecemos por los polígonos regulares más sencillos, los triángulos equiláteros.



Une dos triángulos por un lado. La figura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común.

Une otro triángulo a uno de los anteriores

Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La figura obtenida ya es rígida pero aún es abierta.

Utiliza otro triángulo para CERRAR la figura y obtendrás un poliedro regular.








Anota sus características: - Tiene ________ CARAS, ________ ARISTAS y ________ VÉRTICES.

En cada vértice concurren ________ caras. (Este número es el ORDEN del vértice).


ACTIVIDAD 2. Otros poliedros de orden 3 (En cada vértice tres caras).

Parte ahora del cuadrado y repite el proceso anterior hasta cerrar la figura.
Obtendrás un poliedro regular muy conocido.

Inténtalo ahora con pentágonos.

Prueba con hexágonos. ¿Qué pasa?


ACTIVIDAD 3. Poliedros de orden superior a 3.

Hasta ahora hemos unido tres caras en cada vértice. Podemos intentarlo con más.
Prueba con cuatro triángulos en cada vértice.

Ahora con cuatro cuadrados o con cuatro pentágonos. ¿Qué pasa?

Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice.

Prueba con seis triángulos, con siete...


ACTIVIDAD 4. Haciendo tablas.

Refleja en la tabla las características de los poliedros regulares que has formado.

Polígono utilizado Vértices de Orden C
Nº de caras
A
Nº de aristas
V
Nº de vértices
Nombre del poliedro
TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDRO
HEXAEDRO o CUBO
DODECAEDRO
OCTAEDRO
ICOSAEDRO

Calcula C - A + V para cada uno de los poliedros regulares. ¿Qué pasa?


ACTIVIDAD 5. Por qué no hay más.

Los cinco poliedros regulares que has construido son los únicos posibles.

En la construcción de un poliedro:

- ¿Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice?

- ¿Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice?

- ¿Cuántos pentágonos regulares?

- ¿Por qué no puede construirse un poliedro regular con hexágonos?


ACTIVIDAD 6. Otra forma de contar.

Si pensamos en los polígonos que usamos para construir un poliedro y en la forma de éste, podemos obtener conclusiones sobre sus vértices o sus aristas.

Por ejemplo, para formar el cubo hemos usado seis cuadrados.

- ¿Cuántos lados tienen en total?

- ¿Cuántos vértices?

- Cada arista del cubo es lado de dos cuadrados (Dos lados se funden en una arista)

luego el número de aristas debe ser ______________ del número total de lados.

- Cada vértice del cubo lo es de tres cuadrados (Tres vértices de las caras se funden en un vértice del cubo)

luego el número de vértices del cubo debe ser ______________ del número total de vértices de los cuadrados.

Repite el razonamiento para los restantes poliedros regulares y rellena la tabla.

POLIEDRO POLÍGONOS QUE LO FORMAN CARACTERÍSTICAS
Nombre C(n)
Nº de polígonos
(de orden n)
T
Total de lados
o vértices
A
Nº de aristas
P
Orden
V
Nº de vértices
TETRAEDRO 4 (3) 3
CUBO 6 (4) 24 12 3 8
OCTAEDRO 8 (3) 4
DODECAEDRO 12 (5) 3
ICOSAEDRO 20 (3) 5

- ¿Qué relación existe entre A y T?

- ¿Qué relación existe entre V, p y T?


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POLIEDROS SEMIRREGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

En los poliedros semirregulares las caras son polígonos regulares de tipos distintos, pero en cada vértice se juntan el mismo número de caras y de la misma forma.

La observación de los poliedros regulares nos puede dar una idea de algunos poliedros semirregulares que se pueden obtener a partir de ellos.

Al cortar las esquinas del cubo por la mitad de las aristas:

- En lugar de los vértices del cubo quedan triángulos.

- En las caras del cubo quedan cuadrados.

- El nuevo poliedro tiene sus vértices en las aristas del cubo.

- En esos vértices se unen dos triángulos (de los vértices del cubo) y dos cuadrados (de las caras del cubo) de forma alternada (triángulo, cuadrado, triángulo, cuadrado).







- El nuevo poliedro tendrá:


ACTIVIDAD 1. Piensa y construye.

- ¿Qué material necesitarás para construirlo?:

- Pídelo y construye el poliedro.


ACTIVIDAD 2. Cortando por la mitad de las aristas.

Ahora prueba con los restantes poliedros regulares. Si lo necesitas, puedes pintar los cortes para confirmar tus ideas.

Las tablas pueden ayudarte a resumir tus observaciones y a comparar los resultados que vas obteniendo.

Cuando sepas el material que necesitas, anótalo en las tablas, pídelo y construye el poliedro que has imaginado.

Cortando el ... A C V Polígono que queda en las caras Polígono en lugar de los vértices
Tetraedro 6 4 4
Cubo 12 6 8 Cuadrado Triángulo
Octaedro 12 8 6
Dodecaedro 30 12 20
Icosaedro 30 20 12

- ¿Cuántos poliedros nuevos has obtenido? Intenta explicarlo.

- ¿Cuál es el orden de los vértices?


ACTIVIDAD 3. El cubo truncado.

Al cortar las esquinas del cubo más cerca del vértice que antes:


- En lugar de los vértices del cubo quedan triángulos.

- En las caras del cubo quedan octógonos.

- El nuevo poliedro tiene ________ vértices en cada arista del cubo.

- En esos vértices se unen un ________________ (de los vértices del cubo) y dos ________________ (de las caras del cubo).





- El nuevo poliedro tendrá:

Piensa y construye.

- ¿Qué material necesitarás para construirlo?:

- Pídelo y construye el poliedro.


ACTIVIDAD 4. Truncando los poliedros regulares.

Ahora prueba con los restantes poliedros regulares. Si lo necesitas, puedes pintar los cortes para confirmar tus ideas.

Las tablas pueden ayudarte a resumir tus observaciones y a comparar los resultados que vas obteniendo.

Cuando sepas el material que necesitas, anótalo en las tablas, pídelo y construye el poliedro que has imaginado.

Truncando el ... A C V Polígono que queda en las caras Polígono en lugar de los vértices
Tetraedro 6 4 4
Cubo 12 6 8 Octógono Triángulo
Octaedro 12 8 6
Dodecaedro 30 12 20
Icosaedro 30 20 12

Necesitaré
Truncando el ... Polígonos Gomas En cada vértice juntaré
Tetraedro
Cubo 8 triángulos y 6 octógonos 36 1 triángulo y 2 octógonos
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

- ¿Cuántos poliedros nuevos has obtenido?

- ¿Cuál es el orden de los vértices?


ACTIVIDAD 5. Resumir y observar.

- Refleja en la tabla las características de los poliedros que has formado.

Caras
Nombre Tria Cuad Pent Hexa Octo Deca C V A
Cuboctaedro 8 6 14 12 24
Icosidodecaedro
Tetraedro truncado
Cubo truncado 8 6 14 24 36
Octaedro truncado
Dodecaedro truncado
Icosaedro truncado

- Calcula para ellos la expresión Caras - Aristas + Vértices. ¿Qué pasa?

- Observa con atención las columnas finales de la tabla. ¿Qué similitudes encuentras? Intenta explicarlas.


ACTIVIDAD 6. Extender procesos.

Los cortes del cuboctaedro y del icosaedro pueden sugerirnos otros poliedros semirregulares (hay que tener en cuenta que hay caras distintas).

- Describe el poliedro que resultaría en cada caso y construye alguno de ellos.

Cortando el ... A C V Polígono que queda
en las caras
Polígono en lugar
de los vértices
Cuboctaedro a 1/2 24 14 12
Cuboctaedro a menos de 1/2 24 14 12
Icosidodecaedro a 1/2 60 32 30
Icosidodecaedro a menos de 1/2 60 32 30

Necesitaré

Cortando el ... Polígonos Gomas En cada vértice juntaré
Cuboctaedro a
1/2
Cuboctaedro a
menos de 1/2
Icosidodecaedro
a 1/2
Icosidodecaedro
a menos de 1/2


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POLIEDROS REGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

Los poliedros regulares están formados con polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.


ACTIVIDAD 1. El tetraedro.

Empecemos por los polígonos regulares más sencillos, los triángulos equiláteros.



Une dos triángulos por un lado. La figura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común.

Une otro triángulo a uno de los anteriores

Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La figura obtenida ya es rígida pero aún es abierta.

Utiliza otro triángulo para CERRAR la figura y obtendrás un poliedro regular.








Anota sus características: - Tiene ________ CARAS, ________ ARISTAS y ________ VÉRTICES.

En cada vértice concurren ________ caras. (Este número es el ORDEN del vértice).


ACTIVIDAD 2. Otros poliedros regulares con triángulos.

En el tetraedro se juntan tres caras en cada vértice. Puedes intentarlo con más.

Prueba con cuatro triángulos en cada vértice.

Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice.

Prueba con seis triángulos en cada vértice. ¿Qué pasa?


ACTIVIDAD 3. Poliedros regulares con cuadrados.

Prueba con tres cuadrados en cada vértice.

Inténtalo ahora con cuatro cuadrados en cada vértice. ¿Qué pasa?


ACTIVIDAD 4. Poliedros regulares con pentágonos, hexágonos, ...

Prueba con tres pentágonos en cada vértice.

Inténtalo con cuatro pentágonos. ¿Por qué no puedes?

Prueba con tres hexágonos. ¿Puedes seguir?


ACTIVIDAD 5. Haciendo tablas.

Refleja en la tabla las características de los poliedros regulares que has formado.

Polígono utilizado Vértices de Orden C
Nº de caras
A
Nº de aristas
V
Nº de vértices
Nombre del poliedro
TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDRO
OCTAEDRO
ICOSAEDRO
HEXAEDRO o CUBO
DODECAEDRO

Calcula C - A + V para cada uno de los poliedros regulares. ¿Qué pasa?


ACTIVIDAD 6. Por qué no hay más.

Los cinco poliedros regulares que has construido son los únicos posibles.

En la construcción de un poliedro:

- ¿Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice?

- ¿Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice?

- ¿Cuántos pentágonos regulares?

- ¿Por qué no puede construirse un poliedro regular con hexágonos?


ACTIVIDAD 7. Otra forma de contar.

Si pensamos en los polígonos que usamos para construir un poliedro y en la forma de éste, podemos obtener conclusiones sobre sus vértices o sus aristas.

Por ejemplo, para formar el cubo hemos usado seis cuadrados.

- ¿Cuántos lados tienen en total?

- ¿Cuántos vértices?

- Cada arista del cubo es lado de dos cuadrados (Dos lados se funden en una arista)

luego el número de aristas debe ser ______________ del número total de lados.

- Cada vértice del cubo lo es de tres cuadrados (Tres vértices de las caras se funden en un vértice del cubo)

luego el número de vértices del cubo debe ser ______________ del número total de vértices de los cuadrados.

Repite el razonamiento para los restantes poliedros regulares y rellena la tabla.

POLIEDRO POLÍGONOS QUE LO FORMAN CARACTERÍSTICAS
Nombre C(n)
Nº de polígonos
(de orden n)
T
Total de lados
o vértices
A
Nº de aristas
P
Orden
V
Nº de vértices
TETRAEDRO 4 (3) 3
CUBO 6 (4) 24 12 3 8
OCTAEDRO 8 (3) 4
DODECAEDRO 12 (5) 3
ICOSAEDRO 20 (3) 5

- ¿Qué relación existe entre A y T?

- ¿Qué relación existe entre V, p y T?




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NOTAS PROFESOR


Polígono utilizado Vértices de Orden C
Nº de caras
A
Nº de aristas
V
Nº de vértices
Nombre del poliedro
TRIÁNGULO 3 4 6 4 TETRAEDRO
CUADRADO 3 6 12 8 HEXAEDRO o CUBO
PENTÁGONO 3 12 30 20 DODECAEDRO
TRIÁNGULO 4 8 12 6 OCTAEDRO
TRIÁNGULO 5 20 30 12 ICOSAEDRO



POLIEDRO POLÍGONOS QUE LO FORMAN CARACTERÍSTICAS
Nombre C(n)
Nº de polígonos
(de orden n)
T
Total de lados
o vértices
A
Nº de aristas
P
Orden
V
Nº de vértices
TETRAEDRO 4 (3) 12 6 3 4
CUBO 6 (4) 24 12 3 8
OCTAEDRO 8 (3) 24 12 4 6
DODECAEDRO 12 (5) 60 30 3 20
ICOSAEDRO 20 (3) 60 30 5 12

ACTIVIDAD 1. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

Al cortar un poliedro regular a distancia 1/2 de cada vértice obtenemos:

En los nuevos vértices concurren CUATRO caras, DOS de las secciones de los vértices y DOS de las secciones de las caras:

Cortando el ... A C V Polígono en las caras Polígono en los vértices En cada vértice juntaré
Tetraedro 6 4 4 Triángulo Triángulo 4 triángulos
Cubo 12 6 8 Cuadrado Triángulo 2 triángulos y 2 cuadrados
Octaedro 12 8 6 Triángulo Cuadrado
Dodecaedro 30 12 20 Pentágono Triángulo 2 triángulos y 2 pentágonos
Icosaedro 30 20 12 Triángulo Pentágono

Fíjate en que las parejas CUBO-OCTAEDRO y DODECAEDRO-ICOSAEDRO generan los mismos poliedros que se llaman, ¡claro está!, CUBOCTAEDRO e ICOSIDODECAEDRO.

El que ésto suceda así se debe al hecho de que la sección de la CARA de uno de los poliedros coincide con la sección del VÉRTICE del otro.

Dos poliedros son CONJUGADOS si tienen el mismo número de aristas y el número de caras de uno coincide con el de vértices del otro.

Para contar los vértices, caras y aristas de los nuevos poliedros ten en cuenta lo siguiente:


ACTIVIDAD 2. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

Al cortar un poliedro regular a distancia menor que 1/2 de cada vértice obtenemos:

En los nuevos vértices concurren TRES caras, UNA de las secciones de los vértices y DOS de las secciones de las caras:

Truncando el ... A C V Polígono en las caras Polígono en los vértices En cada vértice juntaré
Tetraedro 6 4 4 Hexágono Triángulo 1 triángulo y 2 hexágonos
Cubo 12 6 8 Octógono Triángulo 1 triángulos y 2 octógonos
Octaedro 12 8 6 Hexágono Cuadrado 1 cuadrado y 2 hexágonos
Dodecaedro 30 12 20 Decágono Triángulo 1 triángulos y 2 decágonos
Icosaedro 30 20 12 Hexágono Pentágono 1 pentágono y 2 hexágonos

Para contar los vértices, caras y aristas de los nuevos poliedros ten en cuenta lo siguiente:



Nombre Tria Cuad Pent Hexa Octo Deca C V A
Octaedro 8 8 6 12
Cuboctaedro 8 6 14 12 24
Icosidodecaedro 20 12 32 30 60
Tetraedro truncado 4 4 8 12 18
Cubo truncado 8 6 14 24 36
Octaedro truncado 6 8 14 24 36
Dodecaedro truncado 20 12 32 60 90
Icosaedro truncado 12 20 32 60 90

ACTIVIDAD 3. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

El proceso anterior puede repetirse con el cuboctaedro y el icosidodecaedro:

Poliedro ... A C V Polígono en las caras Polígono en los vértices En cada vértice juntaré
Cuboctaedro
a 1/2
24 14 12 Cuadrado y Triángulo Cuadrado 1 triángulo y
3 cuadrados
Cuboctaedro
a menos de 1/2
24 14 12 Octógono y Hexágono Cuadrado 1 cuadrado,
1 hexágono y
1 octógono
Icosidodecaedro
a 1/2
60 32 30 Pentágono y Triángulo Cuadrado 1 triángulo,
2 cuadrados y
1 pentágono
Icosidodecaedro
a menos de 1/2
60 32 30 Decágono y Hexágono Cuadrado 1 cuadrado,
1 hexágono y
1 decágono



Nombre Tria Cuad Pent Hexa Octo Deca C V A
Rombicuboctaedro 8 18 26 24 48
Cuboctaedro Truncado 12 8 6 26 48 72
Rombicosidodecaedro 20 30 12 62 60 120
Icosidodecaedro truncado 30 20 12 62 120 180


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El Proyecto Taller de Matemáticas

Se desarrolló fundamentalmente durante tres años (cursos 89/90, 90/91 y 91/92) en los Institutos de Bachillerato Barriada de Huelin, Emilio Prados y Litoral de Málaga capital,

Profesorado participante (número de años en el Proyecto)
María del Carmen Arrabal de Pablos (2) José Antonio Cabrerizo Cabrerizo (2) Ana María Domínguez Rodríguez (2)
Concepción García del Monte (3) Inmaculada Gómez Jurado (3) José Pascual Ibáñez Vilches (2)
Martín Jiménez Carrasco (1) Marcela López Pérez (3) Carlos Messa Poullet (2)
Luis Pérez Bernal (3) Manuel Pérez Romero (1) María Dolores Rogel Ruiz (1)
Alfredo Sánchez Galván (1) Juan Manuel Sánchez García (3) Francisco Sánchez Rodríguez (3)
Esteban Sosa Lozano (2) Carmelo Zábal Martínez (3)

Grupos de alumnos en la experiencia:
Centro 1989/90 1990/91 1991/92
I.B. Barriada de Huelin 1 2 2
I.B. Emilio Prados 3 5 6
I.B. Litoral 2 2 3
I.B. Arroyo de la Miel 1
I.B. Pirámides 1


Uno de los objetivos del Proyecto era el análisis de materiales manipulativos y la elaboración de prácticas para los alumnos que no precisasen la atención del profesor.

Los grupos de alumnos se desdoblaban una hora semanal para hacer las prácticas. Con ello el profesor podía familiarizarse mejor con el uso de los materiales manipulativos en el aula y observar con mayor atención las dificultades de los alumnos y los procesos de aprendizaje.

En reuniones posteriores se iban modificando los textos de las prácticas hasta llegar a las versiones que aparecen en este documento.

Si los alumnos tienen conocimientos previos sobre los mosaicos regulares pueden superar mejor el problema de la unión de seis triángulos (o tres hexágonos) en un mismo vértice.

Tuve conocimiento de estos materiales por medio de un buen amigo, Florencio Villarroya, que me los traspasó de sus contactos en Francia y cuyo documento ¿no publicado? constituyó la base de nuestro trabajo.

Con motivo de la exposición Horizontes Matemáticos pude disfrutar viendo cómo se entusiasmaban los chavales (sobre todo los más pequeños) con las construcciones geométricas.

Posteriormente aprendí otras maneras de usarlos con otro amigo, Ángel Salar (del Grupo Cero de Valencia), en su etapa de asesor del CEP de Torrent.

Otras actividades con este material

Elegimos estas prácticas porque nos parecieron las más "académicas", ya que una de las obsesiones era integrar los conocimientos adquiridos en el desarrollo "normal" del curso, y se trataba de llegar a todos los alumnos.

Pero estos materiales ofrecen muchas más posibilidades, algunas de ellas para grupos muy reducidos o con especial interés en la Geometría. Por ejemplo:


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Si tienes alguna sugerencia o alguna pregunta,
POR FAVOR, ESCRÍBEME

©Luis Pérez Bernal IES Emilio Prados. Málaga