ÍNDICE

POLIEDROS REGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

Los poliedros regulares están formados con polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.

ACTIVIDAD 1. El tetraedro.

Empecemos por los polígonos regulares más sencillos, los triángulos equiláteros.

Une dos triángulos por un lado. La figura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común.

Une otro triángulo a uno de los anteriores

Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La figura obtenida ya es rígida pero aún es abierta.

Utiliza otro triángulo para CERRAR la figura y obtendrás un poliedro regular.

Anota sus características: - Tiene ________ CARAS, ________ ARISTAS y ________ VÉRTICES.

En cada vértice concurren ________ caras. (Este número es el ORDEN del vértice).

ACTIVIDAD 2. Otros poliedros de orden 3 (En cada vértice tres caras).

Parte ahora del cuadrado y repite el proceso anterior hasta cerrar la figura.
Obtendrás un poliedro regular muy conocido.

Inténtalo ahora con pentágonos.

Prueba con hexágonos. ¿Qué pasa?

ACTIVIDAD 3. Poliedros de orden superior a 3.

Hasta ahora hemos unido tres caras en cada vértice. Podemos intentarlo con más.
Prueba con cuatro triángulos en cada vértice.

Ahora con cuatro cuadrados o con cuatro pentágonos. ¿Qué pasa?

Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice.

Prueba con seis triángulos, con siete...

ACTIVIDAD 4. Haciendo tablas.

Refleja en la tabla las características de los poliedros regulares que has formado.

Polígono utilizado	Vértices de Orden	C Nº de caras	A Nº de aristas	V Nº de vértices	Nombre del poliedro
TRIÁNGULO	3	4	6	4	TETRAEDRO
					HEXAEDRO o CUBO
					DODECAEDRO
					OCTAEDRO
					ICOSAEDRO

Calcula C - A + V para cada uno de los poliedros regulares. ¿Qué pasa?

ACTIVIDAD 5. Por qué no hay más.

Los cinco poliedros regulares que has construido son los únicos posibles.

En la construcción de un poliedro:

- ¿Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice?

- ¿Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice?

- ¿Cuántos pentágonos regulares?

- ¿Por qué no puede construirse un poliedro regular con hexágonos?

ACTIVIDAD 6. Otra forma de contar.

Si pensamos en los polígonos que usamos para construir un poliedro y en la forma de éste, podemos obtener conclusiones sobre sus vértices o sus aristas.

Por ejemplo, para formar el cubo hemos usado seis cuadrados.

- ¿Cuántos lados tienen en total?

- ¿Cuántos vértices?

- Cada arista del cubo es lado de dos cuadrados (Dos lados se funden en una arista)

luego el número de aristas debe ser ______________ del número total de lados.

- Cada vértice del cubo lo es de tres cuadrados (Tres vértices de las caras se funden en un vértice del cubo)

luego el número de vértices del cubo debe ser ______________ del número total de vértices de los cuadrados.

Repite el razonamiento para los restantes poliedros regulares y rellena la tabla.

POLIEDRO	POLÍGONOS QUE LO FORMAN		CARACTERÍSTICAS
Nombre	C(n) Nº de polígonos (de orden n)	T Total de lados o vértices	A Nº de aristas	P Orden	V Nº de vértices
TETRAEDRO	4 (3)			3
CUBO	6 (4)	24	12	3	8
OCTAEDRO	8 (3)			4
DODECAEDRO	12 (5)			3
ICOSAEDRO	20 (3)			5

- ¿Qué relación existe entre A y T?

- ¿Qué relación existe entre V, p y T?

POLIEDROS SEMIRREGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

En los poliedros semirregulares las caras son polígonos regulares de tipos distintos, pero en cada vértice se juntan el mismo número de caras y de la misma forma.

La observación de los poliedros regulares nos puede dar una idea de algunos poliedros semirregulares que se pueden obtener a partir de ellos.

Al cortar las esquinas del cubo por la mitad de las aristas:

- En lugar de los vértices del cubo quedan triángulos.

- En las caras del cubo quedan cuadrados.

- El nuevo poliedro tiene sus vértices en las aristas del cubo.

- En esos vértices se unen dos triángulos (de los vértices del cubo) y dos cuadrados (de las caras del cubo) de forma alternada (triángulo, cuadrado, triángulo, cuadrado).

- El nuevo poliedro tendrá:

• Tantos vértices como aristas el cubo.
• Tantas caras cuadradas como caras el cubo.
• Tantas caras triangulares como vértices el cubo.
• Para contar las aristas busca alguna relación con el cubo o con el número de lados de todas las caras que vas a usar.

ACTIVIDAD 1. Piensa y construye.

- ¿Qué material necesitarás para construirlo?:

• ________ cuadrados.
• ________ triángulos.
• ________ gomas.

- Pídelo y construye el poliedro.

ACTIVIDAD 2. Cortando por la mitad de las aristas.

Ahora prueba con los restantes poliedros regulares. Si lo necesitas, puedes pintar los cortes para confirmar tus ideas.

Las tablas pueden ayudarte a resumir tus observaciones y a comparar los resultados que vas obteniendo.

Cuando sepas el material que necesitas, anótalo en las tablas, pídelo y construye el poliedro que has imaginado.

Cortando el ...	A	C	V	Polígono que queda en las caras	Polígono en lugar de los vértices
Tetraedro	6	4	4
Cubo	12	6	8	Cuadrado	Triángulo
Octaedro	12	8	6
Dodecaedro	30	12	20
Icosaedro	30	20	12

- ¿Cuántos poliedros nuevos has obtenido? Intenta explicarlo.

- ¿Cuál es el orden de los vértices?

ACTIVIDAD 3. El cubo truncado.

Al cortar las esquinas del cubo más cerca del vértice que antes:

- En lugar de los vértices del cubo quedan triángulos.

- En las caras del cubo quedan octógonos.

- El nuevo poliedro tiene ________ vértices en cada arista del cubo.

- En esos vértices se unen un ________________ (de los vértices del cubo) y dos ________________ (de las caras del cubo).

- El nuevo poliedro tendrá:

• Doble número de vértices que aristas el cubo.
• Tantas caras octogonales como caras el cubo.
• Tantas caras triangulares como vértices el cubo.
• Para contar las aristas busca alguna relación con el cubo o con el número total de lados de las caras que vas a usar.

Piensa y construye.

- ¿Qué material necesitarás para construirlo?:

• ________ octógonos.
• ________ triángulos.
• ________ gomas.

- Pídelo y construye el poliedro.

ACTIVIDAD 4. Truncando los poliedros regulares.

Ahora prueba con los restantes poliedros regulares. Si lo necesitas, puedes pintar los cortes para confirmar tus ideas.

Las tablas pueden ayudarte a resumir tus observaciones y a comparar los resultados que vas obteniendo.

Cuando sepas el material que necesitas, anótalo en las tablas, pídelo y construye el poliedro que has imaginado.

Truncando el ...	A	C	V	Polígono que queda en las caras	Polígono en lugar de los vértices
Tetraedro	6	4	4
Cubo	12	6	8	Octógono	Triángulo
Octaedro	12	8	6
Dodecaedro	30	12	20
Icosaedro	30	20	12

Necesitaré

Truncando el ...	Polígonos	Gomas	En cada vértice juntaré
Tetraedro
Cubo	8 triángulos y 6 octógonos	36	1 triángulo y 2 octógonos
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

- ¿Cuántos poliedros nuevos has obtenido?

- ¿Cuál es el orden de los vértices?

ACTIVIDAD 5. Resumir y observar.

- Refleja en la tabla las características de los poliedros que has formado.

Caras

Nombre	Tria	Cuad	Pent	Hexa	Octo	Deca	C	V	A
Cuboctaedro	8	6					14	12	24
Icosidodecaedro
Tetraedro truncado
Cubo truncado	8				6		14	24	36
Octaedro truncado
Dodecaedro truncado
Icosaedro truncado

- Calcula para ellos la expresión Caras - Aristas + Vértices. ¿Qué pasa?

- Observa con atención las columnas finales de la tabla. ¿Qué similitudes encuentras? Intenta explicarlas.

ACTIVIDAD 6. Extender procesos.

Los cortes del cuboctaedro y del icosaedro pueden sugerirnos otros poliedros semirregulares (hay que tener en cuenta que hay caras distintas).

- Describe el poliedro que resultaría en cada caso y construye alguno de ellos.

Cortando el ...	A	C	V	Polígono que queda en las caras	Polígono en lugar de los vértices
Cuboctaedro a 1/2	24	14	12
Cuboctaedro a menos de 1/2	24	14	12
Icosidodecaedro a 1/2	60	32	30
Icosidodecaedro a menos de 1/2	60	32	30

Necesitaré

Cortando el ...	Polígonos	Gomas	En cada vértice juntaré
Cuboctaedro a 1/2
Cuboctaedro a menos de 1/2
Icosidodecaedro a 1/2
Icosidodecaedro a menos de 1/2

POLIEDROS REGULARES

Alumno: _______________________________________________ Curso: _____________ Grupo:_____

Los poliedros regulares están formados con polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.

ACTIVIDAD 1. El tetraedro.

Empecemos por los polígonos regulares más sencillos, los triángulos equiláteros.

Une dos triángulos por un lado. La figura resultante puede moverse en torno a la ARISTA común.

Une otro triángulo a uno de los anteriores

Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La figura obtenida ya es rígida pero aún es abierta.

Utiliza otro triángulo para CERRAR la figura y obtendrás un poliedro regular.

Anota sus características: - Tiene ________ CARAS, ________ ARISTAS y ________ VÉRTICES.

En cada vértice concurren ________ caras. (Este número es el ORDEN del vértice).

ACTIVIDAD 2. Otros poliedros regulares con triángulos.

En el tetraedro se juntan tres caras en cada vértice. Puedes intentarlo con más.

Prueba con cuatro triángulos en cada vértice.

Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice.

Prueba con seis triángulos en cada vértice. ¿Qué pasa?

ACTIVIDAD 3. Poliedros regulares con cuadrados.

Prueba con tres cuadrados en cada vértice.

Inténtalo ahora con cuatro cuadrados en cada vértice. ¿Qué pasa?

ACTIVIDAD 4. Poliedros regulares con pentágonos, hexágonos, ...

Prueba con tres pentágonos en cada vértice.

Inténtalo con cuatro pentágonos. ¿Por qué no puedes?

Prueba con tres hexágonos. ¿Puedes seguir?

ACTIVIDAD 5. Haciendo tablas.

Refleja en la tabla las características de los poliedros regulares que has formado.

Polígono utilizado	Vértices de Orden	C Nº de caras	A Nº de aristas	V Nº de vértices	Nombre del poliedro
TRIÁNGULO	3	4	6	4	TETRAEDRO
					OCTAEDRO
					ICOSAEDRO
					HEXAEDRO o CUBO
					DODECAEDRO

Calcula C - A + V para cada uno de los poliedros regulares. ¿Qué pasa?

ACTIVIDAD 6. Por qué no hay más.

Los cinco poliedros regulares que has construido son los únicos posibles.

En la construcción de un poliedro:

- ¿Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice?

- ¿Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice?

- ¿Cuántos pentágonos regulares?

- ¿Por qué no puede construirse un poliedro regular con hexágonos?

ACTIVIDAD 7. Otra forma de contar.

Si pensamos en los polígonos que usamos para construir un poliedro y en la forma de éste, podemos obtener conclusiones sobre sus vértices o sus aristas.

Por ejemplo, para formar el cubo hemos usado seis cuadrados.

- ¿Cuántos lados tienen en total?

- ¿Cuántos vértices?

- Cada arista del cubo es lado de dos cuadrados (Dos lados se funden en una arista)

luego el número de aristas debe ser ______________ del número total de lados.

- Cada vértice del cubo lo es de tres cuadrados (Tres vértices de las caras se funden en un vértice del cubo)

luego el número de vértices del cubo debe ser ______________ del número total de vértices de los cuadrados.

Repite el razonamiento para los restantes poliedros regulares y rellena la tabla.

POLIEDRO	POLÍGONOS QUE LO FORMAN		CARACTERÍSTICAS
Nombre	C(n) Nº de polígonos (de orden n)	T Total de lados o vértices	A Nº de aristas	P Orden	V Nº de vértices
TETRAEDRO	4 (3)			3
CUBO	6 (4)	24	12	3	8
OCTAEDRO	8 (3)			4
DODECAEDRO	12 (5)			3
ICOSAEDRO	20 (3)			5

- ¿Qué relación existe entre A y T?

- ¿Qué relación existe entre V, p y T?

NOTAS PROFESOR

ACTIVIDAD 1. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

Al cortar un poliedro regular a distancia 1/2 de cada vértice obtenemos:

En los nuevos vértices concurren CUATRO caras, DOS de las secciones de los vértices y DOS de las secciones de las caras:

Cortando el ...	A	C	V	Polígono en las caras	Polígono en los vértices	En cada vértice juntaré
Tetraedro	6	4	4	Triángulo	Triángulo	4 triángulos
Cubo	12	6	8	Cuadrado	Triángulo	2 triángulos y 2 cuadrados
Octaedro	12	8	6	Triángulo	Cuadrado
Dodecaedro	30	12	20	Pentágono	Triángulo	2 triángulos y 2 pentágonos
Icosaedro	30	20	12	Triángulo	Pentágono

Fíjate en que las parejas CUBO-OCTAEDRO y DODECAEDRO-ICOSAEDRO generan los mismos poliedros que se llaman, ¡claro está!, CUBOCTAEDRO e ICOSIDODECAEDRO.

El que ésto suceda así se debe al hecho de que la sección de la CARA de uno de los poliedros coincide con la sección del VÉRTICE del otro.

Dos poliedros son CONJUGADOS si tienen el mismo número de aristas y el número de caras de uno coincide con el de vértices del otro.

Para contar los vértices, caras y aristas de los nuevos poliedros ten en cuenta lo siguiente:

• El número de vértices coincide con el número de aristas del inicial.
• El número de caras está relacionado con las caras y los vértices del inicial.
• Para contar el número de aristas puedes contar los lados totales de las caras y dividir por dos ya que en cada arista concurren dos lados.

ACTIVIDAD 2. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

Al cortar un poliedro regular a distancia menor que 1/2 de cada vértice obtenemos:

En los nuevos vértices concurren TRES caras, UNA de las secciones de los vértices y DOS de las secciones de las caras:

Truncando el ...	A	C	V	Polígono en las caras	Polígono en los vértices	En cada vértice juntaré
Tetraedro	6	4	4	Hexágono	Triángulo	1 triángulo y 2 hexágonos
Cubo	12	6	8	Octógono	Triángulo	1 triángulos y 2 octógonos
Octaedro	12	8	6	Hexágono	Cuadrado	1 cuadrado y 2 hexágonos
Dodecaedro	30	12	20	Decágono	Triángulo	1 triángulos y 2 decágonos
Icosaedro	30	20	12	Hexágono	Pentágono	1 pentágono y 2 hexágonos

Para contar los vértices, caras y aristas de los nuevos poliedros ten en cuenta lo siguiente:

• El número de vértices es el doble del número de aristas del inicial.
• El número de caras está relacionado con las caras y los vértices del inicial.
• Para contar el número de aristas puedes contar los lados totales de las caras y dividir por dos ya que en cada arista concurren dos lados.

ACTIVIDAD 3. (IMAGINA Y CONSTRUYE)

El proceso anterior puede repetirse con el cuboctaedro y el icosidodecaedro:

Poliedro ...	A	C	V	Polígono en las caras	Polígono en los vértices	En cada vértice juntaré
Cuboctaedro a 1/2	24	14	12	Cuadrado y Triángulo	Cuadrado	1 triángulo y 3 cuadrados
Cuboctaedro a menos de 1/2	24	14	12	Octógono y Hexágono	Cuadrado	1 cuadrado, 1 hexágono y 1 octógono
Icosidodecaedro a 1/2	60	32	30	Pentágono y Triángulo	Cuadrado	1 triángulo, 2 cuadrados y 1 pentágono
Icosidodecaedro a menos de 1/2	60	32	30	Decágono y Hexágono	Cuadrado	1 cuadrado, 1 hexágono y 1 decágono

El Proyecto Taller de Matemáticas

Se desarrolló fundamentalmente durante tres años (cursos 89/90, 90/91 y 91/92) en los Institutos de Bachillerato Barriada de Huelin, Emilio Prados y Litoral de Málaga capital,

Uno de los objetivos del Proyecto era el análisis de materiales manipulativos y la elaboración de prácticas para los alumnos que no precisasen la atención del profesor.

Los grupos de alumnos se desdoblaban una hora semanal para hacer las prácticas. Con ello el profesor podía familiarizarse mejor con el uso de los materiales manipulativos en el aula y observar con mayor atención las dificultades de los alumnos y los procesos de aprendizaje.

En reuniones posteriores se iban modificando los textos de las prácticas hasta llegar a las versiones que aparecen en este documento.

Si los alumnos tienen conocimientos previos sobre los mosaicos regulares pueden superar mejor el problema de la unión de seis triángulos (o tres hexágonos) en un mismo vértice.

Tuve conocimiento de estos materiales por medio de un buen amigo, Florencio Villarroya, que me los traspasó de sus contactos en Francia y cuyo documento ¿no publicado? constituyó la base de nuestro trabajo.

Con motivo de la exposición Horizontes Matemáticos pude disfrutar viendo cómo se entusiasmaban los chavales (sobre todo los más pequeños) con las construcciones geométricas.

Posteriormente aprendí otras maneras de usarlos con otro amigo, Ángel Salar (del Grupo Cero de Valencia), en su etapa de asesor del CEP de Torrent.

Otras actividades con este material

Elegimos estas prácticas porque nos parecieron las más "académicas", ya que una de las obsesiones era integrar los conocimientos adquiridos en el desarrollo "normal" del curso, y se trataba de llegar a todos los alumnos.

Pero estos materiales ofrecen muchas más posibilidades, algunas de ellas para grupos muy reducidos o con especial interés en la Geometría. Por ejemplo:

• Analizar fácilmente prismas, pirámides, y antiprismas. Se presta más a una dinámica de puesta en común, incidiendo en la tabulación de resultados y en las expresiones algebraicas resultantes.
• Estudiar los deltaedros (poliedros convexos cuyas caras son triángulos equiláteros)
• Deleitarse con los poliedros estrellados
• Indagar en las medidas de superficie y volumen de los poliedros. No es un camino sencillo y este material es insuficiente para los volúmenes, aunque puede proporcionar algunas pistas.