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Teorema.  Hay infinitos números primos.
 

DEMOSTRACIÓN:

        Por reducción al absurdo. Supóngase, por el contrario, que sólo hay un número finito de números primos y supóngase que se denotan como a, b, c, ... , d. Este conjunto puede contener 400 ó 400.000 números primos, pero suponemos que los contiene todos.

        Multiplíquense estos números primos unos por otros y sumemósle 1 al producto para obtener un nuevo número:

N = (a · b · c ·...· d) + 1

Nótese que al tener solamente un número finito de números podemos, en efecto, multiplicarlos de esta manera. Un número infinito de números primos no podría haberse multiplicado de dicho modo.

        Obviamente, N es mayor que cualquiera de los números primos individuales a, b, c, ... , d, y por tanto N es diferente de todos ellos. Puesto que estos números son los únicos números primos existentes, concluimos que N no es un número primo.

        Esto significa  que N debe ser un número compuesto, y por tanto N tiene un divisor primo. Puesto que hemos supuesto que a, b, c, ... , d, constituyen todos los números primos, este divisor primo de N debe estar en algún lugar entre ellos.

        Dicho de otra manera, N es un múltiplo de uno de los números primos a, b, c, ... , d. Realmente, poco importa de cual de ellos es, pero por razones de concreción, suponemos que N es un múltiplo de c. Claramente, el producto
a · b · c ·...· d   es también un múltiplo de  c  ya que  c  aparece como uno de los factores. Pero la diferencia entre N y a · b · c ·...· d será también un múltiplo de c. Pero, por definición, N es exactamente 1 más que este producto, luego la diferencia es 1.

        Por tanto, llegamos a la conclusión de que 1 es múltiplo de c (o de cualquier otro número primo que es un factor de N). Esto claramente, es imposible. Por tanto concluimos que hay infinitos números primos. 
 


 
Teorema de los numeros primos