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EL TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS


 
 
 
        Entre las muchas cuestiones en las que están implicados los números primos, una de las más interesantes concierne a su distribución entre los números enteros. ¿Se distinguen de sus parientes no primos de una manera puramente al azar? ¿O existe alguna regla, algún patrón discernible con el que ocurren los números primos? La respuesta a la última pregunta es "una especie de". Si ésta parece una especie de respuesta evasiva e insatisfactoria, en el presente trabajo esperamos demostrar que realmente es una respuesta muy atrevida que parafrasea uno de los resultados más espectaculares de todas las matemáticas: el teorema de los números primos.

        Quien investigue la distribución de los números primos debería empezar con una lista. A continuación, se escriben los primeros 25 números primos menores que 100:
 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
 
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

        Si hay aquí un patrón, no es nada claro. Por supuesto, todos los números primos mayores que 2 son impares, pero esto no es de mucha ayuda. Advertimos unas cuantas lagunas en los números primos: no hay ninguno del 24 al 28 ni del 90 al 96, siendo este último número una serie de siete números compuestos consecutivos. Por otra parte, vemos que algunos números primos ocurren solamente separados dos unidades -por ejemplo, 5 y 7 ó 59 y 61-. Estos números primos contiguos, que tienen la forma de p y p+2, se llaman números primos gemelos.

        Para aumentar el número de datos, reunimos todos los números primos desde el 101 al 200:
 

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 139, 149,151,
 
157, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199

        Esta vez hay 21 números de esta clase. Una vez más observamos lagunas, como los nueve números compuestos seguidos del 182 al 190, aunque los números primos gemelos persisten a lo largo de esos números hasta el 197 y 199.

         En un estudio de la distribución total de números primos, parecía que las lagunas (en las que los números primos consecutivos están muy separados) y los números primos gemelos (en los que los números primos consecutivos están muy juntos) deberían jugar un importante papel. ¿Existen lagunas más largas entre los números primos? ¿Son las existencias de números primos gemelos infinitos? Interesantemente la primera pregunta se responde fácilmente, pero la segunda es uno de los misterios irresueltos de la teoría de números.

        Comencemos con la respuesta fácil. Supongamos que se nos pide una ristra de cinco números compuestos consecutivos. Consideremos los números:
 

6!+2 = 722,  6!+3 = 723,  6!+4 = 724,  6!+5 = 725,  6!+6 = 726

Es fácil ver que ninguno de estos números es primo, pero es más instructivo preguntar por qué esto es así. El primer número es 6!+2 = 6·5·4·3·2·1+2. Puesto que 2 es un factor de 6! y de sí mismo, 2 es un factor de la suma 6!+2. De ahí que 6!+2 no sea un número primo. Pero tampoco lo es 6!+3 = 6·5·4·3·2·1+3, ya que 3 divide igualmente a ambos términos y por consiguiente a la suma de los dos. Asimismo, 4 es un factor de 6! y de 4, y, por tanto de su suma, igualmente 5 es un factor de 6!+5, y 6 es un factor de 6!+6. Puesto que cada uno de estos números tiene un factor, ninguno es primo. Hemos generado, por tanto, cinco números consecutivos que no son primos.

       Se puede argüir convincentemente que hemos realizado una búsqueda demasiado complicada. Después de todo, los cinco números compuestos seguidos 24, 25, 26, 27, 28 servirían exactamente igual. ¿Por qué introducir factoriales que nos llevan hasta el 700?

        La respuesta es que necesitamos un procedimiento general. Si nos piden una serie de 500 números compuestos seguidos, el examen de una lista de números primos no sería realista, pero el razonamiento utilizado anteriormente suministrará una serie de esta clase exactamente de la misma manera.

        Esto es, comenzamos con el número 501!+2 y tomamos los números enteros desde un número hasta el 501!+501. Es evidente que esto nos da 500 números enteros consecutivos. Casi tan evidente es el hecho de que todos estos números son compuestos, ya que 2 divide exactamente a 501!+2, 3 divide exactamente a 501!+3, y así sucesivamente hasta 501, que divide exactamente a 501!+501. Aquí hay 500 números compuestos consecutivos.

        Exactamente el mismo procedimiento comenzando con 5.000.001!+2 produciría cinco millones de números consecutivos con ningún número primo entre ellos, y podríamos exactamente producir con la misma facilidad cinco mil millones o cinco billones consecutivos de números compuestos. Esta argumentación tiene una pasmosa consecuencia: existen lagunas arbitrariamente largas entre los números primos.

        Esto significa que si continuáramos como antes contando los números primos entre cada centena de números enteros, alcanzaríamos un punto en el que no habría ningún número primo en absoluto -una centena de números seguidos desprovista de números primos-. Pero la situación es aún más extraña. Cuando se trata de una ristra de cinco millones de números compuestos consecutivos, examinaríamos 50.000 grupos consecutivos de cien números enteros cada uno y ¡nunca encontraríamos un número primo entre ellos! En este punto parecería practicamente cierto que se nos han agotado del todo los múmeros primos.

        A quien crea esto lo remitimos a la demostración de la infinidad de los números primos. Deben existir enormes lagunas, lagunas tan grandes que ningún humano podría contarlos durante toda la vida; sin embargo, más allá de estas lagunas, en alguna parte deben existir más números primos, siempre más números primos. Literalmente son inagotables.

        ¿Qué hay sobre el otro tema? ¿Son las existencias de los números primos gemelos similarmente inagotables? Los especialistas en teoría de números han luchado con este problema durante siglos. Incluso entre los números muy grandes, los números primos gemelos saltan aquí y allá. Los números primos 1.000.000.000.061 y 1.000.000.000.063 son un ejemplo. Pero hasta el día de hoy nadie puede demostrar que existe un número infinito de números primos gemelos. La cuestión permanece irresuelta. Aunque este problema continúa desconcertando a las mejores mentes matemáticas, la cuestión de la infinidad de los tripletes de números primos es fácil de establecer. Decimos que tres números primos forman un triplete si adoptan la forma p, p+2 y p+4. Por ejemplo, los números 3, 5 y 7 son un triplete. ¿Existen conjuntos infinitamente numerosos de éstos?

        Para responder a esta cuestión, observamos en primer lugar que cuando un número cualquiera se divide por 3, el resto debe ser 0, 1 ó 2. Así si tenemos el triplete de números primos  p, p+2 y p+4 y dividimos por 3, existen tres posibles resultados. Quizá el resto es 0. Esto es, podría ser múltiplo de 3, es decir, p=3k para cualquier número entero k. Si k=1, entonces p=3, y nos encontramos con el triplete 3, 5 y 7 otra vez. Pero si k ³ 2, entonces p=3k no es un número primo, porque habría dos factores propios, 3 y k. Se sigue que 3, 5 y 7 son el único triplete posible para este caso. Alternativamente, el resto de dividir p por 3 podría ser 1, de modo que p=3k + 1 para cualquier número entero   k ³ 1. (Nótese que podemos eliminar k=0 ya que p = 3 · 0 + 1 = 1 no es un número primo). Para este caso el segundo miembro del triplete es  p+2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1). Obviamente, p+2, al tener los factores 3 y k+1, no puede ser un número primo. Concluimos que no hay tripleta en este caso. Finalmente, supongamos que p dividido por 3 nos da un resto de 2. Entonces, p=3k +2 para cualquier entero k ³ 0. Por tanto, el tercer número del triplete es p+4=(3k + 2) + 4 = 3k + 6 =  3(k + 2). Pero entonces p+4 no es un número primo, ya que tiene un factor de 3. Ningún triplete de números primos encaja tampoco en esta categoría.

        Reuniendo nuestros resultados, vemos que el único conjunto de tripletes de números primos es el triplete sencillo: 3, 5, 7. La respuesta a la pregunta "¿Existe un número infinito de tripletes de números primos?" es un sonoro "no". Sólo hay uno. Sin embargo sustituyendo la palabra tripletes por gemelos convierte esto en un problema ingente.

        ¿Que se puede decir acerca de la distribución global de los números primos entre los números enteros? Una opción es acercarse al problema reuniendo datos, examinándolos y buscando pruebas de una posible regla.

        Introducimos el símbolo p(x) para representar el número de primos menores o iguales que el número entero x. Por ejemplo, p(8) = 4, ya que 2, 3, 5 y 7 son los cuatro números primos menores o iguales que 8. Asimismo,  p(9) = p(10) = 4  también. Pero p(13) = 6, ya que 2, 3, 5, 7, 11, y 13 son los seis números primos menores o iguales a 13.

        Ahora reunimos datos. Esto supone contar números primos y construir una tabla para p(x). Vamos a dar una lista de los valores de p(x) para potencias de 10 desde 10 a 10.000 millones. Las dos columnas de la derecha de la tabla requieren una explicación. Una da los valores de
 

  p(x)
x

que es la proporción de los números menores o iguales a x que son primos. Por ejemplo, hay exactamente 78.498 números primos menores o iguales que un millón, de manera que
 

                           p(1.000.000)    =        78.498        =   0,078498
 1.000.000              1.000.000

Esto significa que el 7.85 por ciento de todos los números por debajo de un millón son primos, y el 92.15 por ciento son números compuestos.
 
 
 
 

 
x
p(x)
p(x) / x
r(x) = x / p(x)

10 4
0,40000000
2,50000000
100 25
0,25000000
4,00000000
1.000 168
0,16800000
5,95238095
10.000 1.229
0,12290000
8,13669650
100.000 9.592
0,09592000
10,4253545
1.000.000 78.498
0,07849800
12,7391781
10.000.000 664.579
0,06645790
15,0471201
100.000.000 5.761.455
0,05761455
17,3567267
1.000.000.000 50.847.534
0,05084753
19,6666387
10.000.000.000 455.052.512
0,04550525
21,9754863
           ·          · 
·
·
           ·          · 
·
·
           ·          · 
·
·
 
 

        La columna más a la derecha nos da el inverso de    p(x) / x     a lo cual llamamos r(x).
 
Para el caso  de   x = 10,            r(10)   =        10          =       10     =  2.5
                                                                       p(10)                  4

        La razón de incluir esta columna es que finalmente identificaremos r(x), al menos aproximadamente, como un entidad matemática familiar.

        ¿Qué patrones están claros en la tabla? Está claro que cuando x aumenta, la proporción de números primos menores o iguales a x disminuye (examínese la tercera columna). En otras palabras, los números primos se hacen proporcionalmente más escasos cuando nos desplazamos a los números mayores. Un momento de reflexión sugiere lo razonable de este fenómeno. Después de todo para que un número sea primo no debe ser divisible por ningún número menor. Para los números pequeños, que tienen pocos predecesores, tal escapatoria es más probable. Por tanto, para que 7 sea primo, sólo necesita no ser divisible por 2, 3, 4, 5 ó 6. Pero para que 551 sea primo, no puede ser divisible por 2, 3, 4, 5, ..., 549 y 550, y esto parece mucho menos probable. (De hecho, 551 es divisible por 19 y, por tanto, no es un número primo.)  De la misma manera que es más fácil correr entre las gotitas de una lluvia ligera que en una violenta tormenta, así es más fácil para un número ser primo si tiene unos pocos números, más pequeños, de los que evadirse.

        Pero los matemáticos tienen algo más fuerte que la inocua observación de que los números primos se hacen más escasos conforme vamos avanzando en el valor de los números. Buscan una regla o fórmula que refleje, al menos a grandes rasgos, la distribución  de los números primos. Para esto parece que la tabla es de poca ayuda. Incluso el observador más perspicaz será perdonado por no localizar un patrón entre sus números.

        Sin embargo existe uno -sutil, refinado, y completamente inesperado-. Para localizar el patrón, debemos considerar el número e y el logaritmo natural. Puede parecer muy fantástico que e tenga algo que ver con los números primos, pero este número surge en los sitios más inesperados.

        Por tanto, auméntese la tabla para incluir una columna con los valores de  er(x). Por ejemplo, cuando  x=10,  r(x) = 10/4 = 2,5 de modo que introducimos el valor e2,5 = 12,182494 en la columna de la derecha. Procediendo de esta forma, obtenemos:
 

 
 
 
x
r(x) = x / p(x)
er (x)

10
2,50000000
12,182494
100
4,00000000
54,598150
1.000
5,95238095
384,668125
10.000
8,13669650
3.417,609127
100.000
10,4253545
33.703,4168
1.000.000
12,7391781
340.843,2932
10.000.000
15,0471201
3.426.740,583
100.000.000
17,3567267
34.508.861,36
1.000.000.000
19,6666387
347.626.331,2
10.000.000.000
21,9754863
3.498.101.746
           ·
·
·
           ·
·
·
           ·
·
·
 
 
 

      Aunque la columna de la derecha no muestra una regularidad perfecta, se siente un principio subyacente de acción: conforme nos desplazamos hacia abajo, cada número de la derecha parece ser unas diez veces más grande que el valor de arriba. Parece como si al caer de una línea a la siguiente -y, por tanto, al aumentar el valor de x en un factor de 10- el valor de er (x) aumenta aproximadamente también en un factor de 10.

        El fenómeno se puede resumir mediante la expresión algebraica:
 

er (10·x) » 10 er (x)    para un x grande

        Esta expresión simplemente dice que al aumentar el valor de x a 10·x, el nuevo producto,   er (10·x)   será unas diez veces más grande que el antiguo producto, er (x).

        Aunque no lo pueda parecer, esta observación es importante. Hemos establecido como nuestro objetivo la identificación de r(x) y ahora, al menos estamos en posesión de una formula relevante, a saber, er (10·x) » 10 er (x). Seguramente esto no es cierto para cada función. Si podemos encontrar una que obedezca esta regla, habremos recorrido un largo camino para identificar r(x).

        Podemos invocar a los logaritmos naturales. Tenemos que:  ln (ex) = x ,  lo cual quiere decir que al tomar logaritmos se deshace el proceso de potenciación. Pero esto es valido en la otra dirección: si comenzamos con x, tomamos su logaritmo natural y luego elevamos el resultado a una potencia, volvemos al valor de x, es decir,   eln x = x .

        En un ejemplo numérico, si   x = 6 ,  entonces:
 

ln 6 = 1,791759469 ,    y   eln x = eln 6 = e1,791759469 = 6.
 
Hemos vuelto donde habíamos empezado.

        Por tanto, si empezamos con 10·x, tomamos el logaritmo natural para obtener   ln (10·x)   y luego lo elevamos a una potencia para obtener    eln (10·x) ,   la propiedad de inversión muestra que sencillamente volvemos a obtener de nuevo 10·x . Esto es, tenemos    eln (10·x)  = 10·x . Pero es claro que 10·x = 10 eln x. Poniendo juntos estos dos hechos, concluimos que:
 

eln (10·x)  =  10 eln x
 
        Lo que resta es considerar esta ecuación al lado de relación anterior. Es decir, comparamos:
 
er (10·x) » 10 er (x)      y      eln (10·x)  =  10 eln x
 
Los patrones son idénticos. Hacemos una atrevida hipótesis:  r(x)  es aproximadamente igual a  ln(x)   cuando x es grande.

        Ésta es la esencia del teorema de los números primos, aunque ordinariamente refundido en una forma ligeramente diferente. Esto es, podemos sustituir   r(x)   por    x / p(x)    para obtener    x / p(x)  »  ln x    y después tomar los inversos para acabar con:
 
 

      EL TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS.

p(x) / x    »    1 / ln x
 Para un valor grande de x.
 

        En esta forma se aprecia el teorema en toda su gloria. Sostiene que la proporción de números primos entre los números enteros,    p(x) / x  , es aproximadamente igual al inverso de    ln x    cuando x es grande. Resulta sumamente extraordinario que la distribución de los números primos esté ligada de esta manera al logaritmo natural.

        Por supuesto, no hemos demostrado nada. Ni lo demostraremos. Hemos captado sencillamente, un poco de cuál debía ser la respuesta. Como una especie de comprobación numérica, modificamos nuestra tabla para incluir   p(x) / x   y su aproximación   1/ln(x):
 
 
 

 
x
p(x) / x
1 / ln (x)

10
0,40000000
0,43429448
100
0,25000000
0,21714724
1.000
0,16800000
0,14476483
10.000
0,12290000
0,10857362
100.000
0,09592000
0,08685890
1.000.000
0,07849800
0,07278241
10.000.000
0,06645790
0,06204207
100.000.000
0,05761455
0,05428681
1.000.000.000
0,05084753
0,048225494
10.000.000.000
0,04550525
0,04342945
           ·
·
·
           ·
·
·
           ·
·
·
 
 

        Ciertamente, la concordancia no es perfecta, pero parece mejorar al aumentar x. Como muestra la última línea, la proporción de los números primos menores o iguale s a 10.000 millones difiere de  1/ln(10.000.000.000) sólo en 0,002, de manera que la aproximación es de 2 partes por mil por defecto. Por alguna extraña razón, cuando tienden al infinito los números primos marchan al son del logaritmo natural.

        Si alguien piensa que nunca se podría discernir esta relación, se le aconseja que vuelva a pensarlo. Entre los papeles del adolescente de 14 años Carl Friedrich Gauss, apareció lo siguiente:

números primos menores que a ( = ¥a  /  l a

        ¿Qué significan estos apuntes? En primer lugar, podemos sustituir "números primos menores que a" por su equivalente moderno, p(a). Además, es claro que " l a " es nuestro "ln a". Y con seguridad " ( = ¥ ) " significa " cuando a ® ¥ " o "para valores grandes de a". Por tanto, la frase críptica de Gauss se traduce en:
 

p(a)    »    a / ln a
   para valores grandes de a.
 

Dividimos los dos miembros por a para obtener:
 

p(a) / a    »    1 / ln a
para valores grandes de a.
 

Y esto es exactamente el teorema de los números primos como lo habíamos enunciado anteriormente. Claramente el adolescente Gauss había reconocido el patrón.
        Puede parecer que este logro no fue muy diferente de la habilidad de Houdini para escapar de una caja de caudales sumergida en el agua y con una cadena alrededor -lo que es lo mismo que decir que los talentos del muchacho parecen cosa de magia-. Pero no debemos olvidar que Gauss había estado fascinado siempre por los números y que tenía un cociente de inteligencia astronómicamente alto.

        Como se advirtió, Gauss reconoció el patrón pero no lo demostró. Ni lo hizo nadie en los cien años siguientes, Al fin el teorema de los números primos fue demostrado por Jacques Hadamard (1865-1963) y C. J. de la Vallee Poussin (1866-1962) en 1896 usando ciertas técnicas muy complicadas de la teoría de análisis de números. Además de compartir casi los mismos años de vida, Hadamard y Vallee Poussin descubrieron sus demostraciones independientes y simultáneamente, y así comparten el honor de haber erigido esta piedra miliar matemática.

        Concluimos con una enérgica observación. Literalmente, se han demostrado miles de teoremas acerca de los número primos desde el tiempo de Euclides hasta nuestros días. Muchos son importantes; algunos de gran belleza. Pero entre ellos, sólo uno, que es el llamado universalmente el teorema de los números primos.
 
 


        Este trabajo ha sido extraído del libro: "El universo de las matemáticas". William Dunham. Edicciones Pirámide, S. A.
 
 
        Trabajo realizado por Francisco Ramírez López 
E-mail:frlopez@cica.es
 
para el Curso de Formación a Distancia.
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