Límites y Continuidad

  1. Límite de una función en un punto. Propiedades.
  2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.
  3. Cálculo de límites.
  4. Función continua en un punto y en un intervalo.
  5. Operaciones con funciones continuas.
  6. Discontinuidades.
  7. El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

Objetivos Mínimos


1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

A) LIMITE EN UN PUNTO.

A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)

A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.

C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.


A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas.
Dada la función y = f(x), si se verifica que

a)     b)     c)  
entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

		

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

		

B) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-

		

C) INDETERMINACIÓN
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo.-

		

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-

		

D) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
Ejemplos.-

				

E) INDETERMINACIONES - -
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:
pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

			 (Usa la fórmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo.

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

  1. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
  2. Existe el .
  3. Ambos valores coinciden, es decir .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).

Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

  1. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
  2. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
  3. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:
Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)

TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración:
Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a.

5. Operaciones con funciones continuas.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:

  1. es continua en x=a.
  2. es continua en x=a.
  3. es continua en x=a si .
  4. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a.

Demostración:



De lo dicho anteriormente resulta que:

6. Discontinuidades.

Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).

B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor .

Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

TEOREMA DE BOLZANO
Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha función en los extremos del intervalo, es decir, tal que f(c)=0.

Demostración:
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario).
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b).
Sea el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.
Si el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior, obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real . Demostremos que f(c)=0.
Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción f(c)=0.
Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) (Basta aplicar el Teorema de Bolzano a g(x)=f(x)-k.)

TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] f(x) alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b].

Demostración:
A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b].
Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y los subintervalos y f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos, que llamaremos . Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada.
Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b].
B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo).
Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estará demostrado.
g(x) está acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b].
Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass.