Unidad didáctica: Ecuaciones


Gabriel Bootello Acedo
I.E.S. Las Lagunas - Mijas (Málaga)




Bibliografía consultada




Epitafio de Diofanto






1.-El lenguaje algebraico



Actividad inicial



Comenzamos con una adivinanza que puedes proponer a un amigo:

  1. Piensa un número.
  2. Multiplícalo por 2.
  3. Añade 5 al resultado.
  4. Multiplica lo que has obtenido por 5.
  5. Añade 75 al resultado.
  6. Multiplica el resultado por 10.
  7. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

¿Podrías encontrar el truco utilizado para adivinar el número inicial?


Si llamamos n al número inicial, podemos escribir las expresiones algebraicas que obtenemos en cada paso:

  1. n
  2. 2n
  3. 2n+5
  4. 5(2n+5)
  5. 5(2n+5)+75
  6. 10[5(2n+5)+75]

expresión que simplificamos:

Entonces, según el número que te diga tu amigo en el paso 7, tendremos:

Entonces si te dice tu amigo que le sale 3300, entonces puedes recuperar el valor inicial de n=23 deshaciendo la operación: restando 1000 y dividiendo por 100 el resultado. Esto se reduce a una regla rápida de cálculo como es restar un dígito a la cifra del millar y quitar los ceros a la cifra resultante:

Si te dice 2700, nos quedamos con 1700, al que quitamos los dos ceros (1700), y de aquí obtenemos el valor inicial 17

Intenta ahora averiguar qué expresión algebraica obtienes si la adivinanza fuese:

  1. Piensa un número.
  2. Súmale 2.
  3. Eleva el resultado al cuadrado.
  4. Réstale cuatro veces tu número inicial.
  5. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.

Solución

Como ves, podemos resolver problemas manejando expresiones en forma de relaciones numéricas, donde una o varias letras tengan un significado concreto, pero desconozcamos sus valores. A estas letras se les llama incógnitas, variables o indeterminadas.

Llamamos expresión algebraica a toda combinación de variables y números relacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas aparecen en multitud de campos: geometría, física, economía, etc.:

Una fórmula es, pues, una ecuación que relaciona varias variables, llamadas magnitudes, las cuales son propiedades que pueden medirse; como por ejemplo:


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2.-Valor numérico. Expresiones algebraicas equivalentes



El período de un péndulo (T) es el tiempo, medido en segundos, que tarda el péndulo en realizar una oscilación (ida y vuelta) y depende únicamente de su longitud (l), veámoslo:

Por ejemplo, si queremos averiguar el período de un péndulo de 1 m. de longitud, entonces sustituimos l=1 m. en la fórmula anterior:


Es decir, si mides con un cronómetro lo que tarda en realizar una oscilación, verás que tarda 2.007 segundos. A este resultado lo llamamos valor numérico de la expresión.

Llamamos valor numérico de una expresión algebraica para unos valores fijos de las letras, al resultado obtenido al sustituir las letras por estos valores fijados y efectuar las operaciones que se nos indique.

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Fíjate en estos dos cuadrados:

Al calcular el área de cada uno obtenemos las expresiones algebraicas:

Al ser las figuras equivalentes, ¿cómo son sus áreas?: fíjate que son iguales y que, por tanto, en las dos expresiones al sustituir cualesquiera valores numéricos de las letras a y b, por ejemplo a=5 y b=3 obtenemos los mismos valores numéricos en las expresiones algebraicas:

A estas expresiones algebraicas las llamaremos equivalentes:
Dos expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que demos a las letras.

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3.-Igualdades, identidades y ecuaciones


Varias expresiones numéricas o algebraicas relacionadas entre sí con el signo igual ( = ) le llamaremos igualdad.

Algunas igualdades podrían ser:

  1. 42-32=12
  2. 7.103=7000
  3. (a+b)2=a2+2ab+b2
  4. x+(1/7).x=24

Estas igualdades no tienen el mismo carácter. Para empezar, las igualdades pueden ser ciertas o falsas: la igualdad numérica a) es falsa, pero la b) es cierta. La igualdad algebraica c) es cierta para cualesquiera valores de a y b; sin embargo, la igualdad d) es cierta (decimos que se verifica) para x=21 y para cualquier otro valor de x es falsa.

Por tanto hay igualdades de dos tipos:

  1. Identidades:

    Son igualdades que se verifican siempre, tanto si son numéricas o algebraicas. Por ejemplo,

    3-2-1=0

    que es una identidad numérica y

    (a-b).(a+b)=a2-b2

    que es una identidad algebraica.

  2. Ecuaciones:

    Son igualdades que se verifican para algunos valores determinados de las letras. Por ejemplo:

    es una ecuación que se verifica para x=2 y x=-1. Por otra parte, la ecuación:

    se verifica para una infinidad de parejas de números: x=3 , y=2 ; x=4 , y=3 ; x=10 , y=9 ; etc.

Algunos conceptos usuales al tratar ecuaciones son:


¡ Siempre es conveniente comprobar las soluciones de una ecuación !

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4.-Métodos para resolver ecuaciones



En la Actividad inicial jugamos a adivinar el número que pensaba nuestro amigo deshaciendo de forma inversa las operaciones que aparecían en el enunciado. Por ejemplo, si le sale 1700 tenemos la ecuación:

Este proceso puede esquematizarse así:

Luego n=7 es la solución de la ecuación 100n+1000=1700. A este método se le llama método de deshacer

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Otro método algebraico para resolver ecuaciones consiste en representar una igualdad por una balanza en equilibrio. Por ejemplo una igualdad numérica como:

estaría representada como:

La ecuación 2x+5=17 se representaría como:

Si quito 5 del platillo izquierdo la balanza se desequilibrará. Por tanto, tendré que quitar la misma cantidad en el platillo de la derecha para que se equilibre:

que equivale a:

Luego la balanza estará equilibrada si quito x de la izquierda y 6 de la derecha:

Por tanto x=6 es la solución de la ecuación 2x+5=17

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De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de unas situaciones de equilibrio a otras. Si traducimos estos gráficos al lenguaje algebraico tendríamos:

Entonces decimos que 2x+5=17 y 2x=12 tienen la misma solución ( x=6 ).

De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes.

Podemos obtener ecuaciones equivalentes, pues, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas y en las expresiones algebraicas:

  1. Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.
  2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.


Vemos, pues, que una buena técnica para resolver una ecuación de 1er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la que la incógnita estuviese despejada.

Sin embargo, hay ecuaciones en las que la incógnita x aparece sometida además a otras operaciones: elevada al cuadrado (x2), al cubo (x3), etc. por lo que habrá que utilizar otras estrategias que veremos más adelante para el cálculo de la incógnita. Algunos ejemplos podrían ser:



4.1.-Resolución de ecuaciones de 1er grado



Entonces vamos a intentar resolver con este método llamado de transposición las ecuaciones de 1er grado con una incógnita.

Llamamos ecuación de primer grado con una incógnita a toda ecuación equivalente a otra de la forma:

a.x = b

con a distinto de cero.



Veamos los pasos a seguir en el método de transposición:

Quitamos paréntesis:

Restamos 8 a cado lado de la ecuación:

el resultado sería:

y dividiendo cada miembro de la ecuación por 2:

Ejercicio:


Justifica cada paso en la resolución de esta ecuación de manera gráfica con balanzas.

Además hay ecuaciones en las que pueden aparecer denominadores:

Si quitamos paréntesis:

Para que desaparezcan los denominadores en la ecuación debemos multiplicar los cuatro términos por un número que sea múltiplo de 1,3,4 y 6 a la vez. Uno podría ser 1.3.4.6=72, pero buscamos uno más pequeño para que los cálculos sean más sencillos: el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 1,3,4 y 6:

luego:

Como 12 es múltiplo de cada denominador, la división con cada uno será entera:

Volvemos a quitar paréntesis:

Sumamos términos semejantes:

Transponemos términos:

De nuevo sumamos términos semejantes:

Dividimos por 46:

que es el resultado.

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Cuadrado mágico algebracico nº1




Cuadrado mágico algebraico nº2




4.2.-Resolución de ecuaciones con la calculadora



Ensayemos primero el denominado método de las iteraciones con el siguiente enunciado:

Un montón y una séptima parte del mismo es igual a 24

Ecuación del Papiro de Rhind (1650 a.C.)


Si representamos al montón por x, este enunciado puede traducirse al lenguaje algebraico como:

En el 1er paso despejamos una x:

En el 2º paso damos a x un valor cualquiera que sirva como primera aproximación de su verdadero valor. No importa que ésta no sea demasiado buena.

Tomamos x=10, por ejemplo, y sustituimos 10 en el 2º miembro de la igualdad:

Al hacerlo con la calculadora obtenemos:

x = 22.57142857

que tomaremos como segunda aproximación de x: sustituimos este valor en el 2º miembro de la igualdad y obtenemos así sucesivas aproximaciones:

Aproximaciones de x
Primera (valor inicial) Segunda Tercera Cuarta Quinta Sexta Séptima
10 22.57142857 20.7755102 21.03206957 20.99541858 21.00065449 20.99999065

Observemos que los valores de la tabla se aproximan cada vez más al número 21. Por tanto x=21 es la solución de

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Existe otro método para resolver ecuaciones con la calculadora: es el llamado método de tanteo.

Suele utilizarse cuando se tiene una idea aproximada del valor de la solución. Por ejemplo, para:

Observamos que a debe ser un número entre 1 y 2 puesto que:

y el número 2 está entre 1 y 8.

Tomamos el primer valor de la aproximación como:

Como este número es mayor que 2, entonces 1.5 es mayor que la solución a. Por tanto, esta aproximación no es buena. Para acercarnos al verdadero valor debemos tomar ahora un número comprendido entre 1 y 1.5, por ejemplo 1.2:

Repetimos los cálculos y obtenemos la tabla:

a está entre Valor aproximado Cubo del valor aproximado El valor aproximado es
1 y 2 1.5 3.375 Mayor que a
1 y 1.5 1.2 1.728 Menor que a
1.2 y 1.5 1.3 2.197 Mayor que a
1.2 y 1.3 1.25 1.953125 Menor que a
1.25 y 1.3 1.26 2.000376 Casi igual que a

Después de los cinco pasos realizados obtenemos el número 1.26 cuyo cubo es 2.000376. Es decir, a es aproximadamente 1.26.

La búsqueda por tanteo de a puede seguirse mediante una representación de segmentos:

Al tomar 1.5 como primera aproximación, el error que se comete respecto al verdadero valor de a es menor que 1 (distancia que separa a los dos extremos del segmento); al tomar 1.2 (segunda fila de la tabla anterior) el error respecto de a es menor que 0.5, y así sucesivamente, al tomar 1.26 el error es menor que 0.05, diferencia entre 1.25 y 1.3




Rueda algebraica