Capítulo 1: Funciones reales de variable real. Introducción

1.- Definición de función

2.- Dominio de definición de una función.

3.- Representacion grafica de funciones.

4.- Operaciones con funciones.

5.- Paridad de funciones.

6.- Crecimiento y acotación de funciones.

7.- Límite de funciones.

8.- Cálculo de límites.

CAPÍTULO 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

1.- Definición de función.

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Posteriormente veremos que los números que son aceptados por la máquina compondrán el dominio de definición de la función y el conjunto de elementos de salida compondrán el recorrido de la función.

Ejemplos

1.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas variables es .
Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores:

l

A

1

1

2

4

10

100

1/2

1/4

0,5

0,25

En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un cuadrado nunca puede tener una medida negativa.
Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa. Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).

2.- Cualquier expresión del tipo y=f(x) de las estudiadas en cursos anteriores representa una función real de variable real.

Definición

Definimos función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).
De una manera más rigurosa:

Definición

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Ejemplos

Calcula la imagen de los números 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones:
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2.- Dominio de definición de una función.

Definición

El subconjunto S de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota

El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

Ejemplos

A.- En el ejemplo estudiado que relacionaba el área de un cuadrado con su lado viste que el dominio lo formaban los números reales positivos.
La función que representa este problema es f(x)=x2 como ya vimos; de todos modos observa que en principio y atendiendo al aspecto analítico de la función no habría inconveniente en calcular la imagen de un número real negativo; por ejemplo, f(-8)=(-8)2=64.
Luego parece que el dominio podría ser todo R. En este ejemplo, el dominio viene determinado pues, por la propia naturaleza del problema que no admite lados de cuadrados negativos.

B.- Con la sucesión de números reales (an)= (-n2+18)
(es una función: f(n)=(-n2+18) pasa algo parecido pues en principio no tenemos inconveniente en calcular la imagen de cualquier número real.
No obstante, la propia definición de sucesión nos hace considerar que solo son posibles las imágenes de números naturales.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás que tener en cuenta tres aspectos fundamentales:

1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo.
2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero.
3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero.

Ejemplos

Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
1.- f(x)=1/2x2
En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R

2.-
Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:

3.-
Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador. Veamos cuales son:
x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1: D(f)=R\{1}

4.-
Tengo que exigir de nuevo:

Ejercicios

Calcula el dominio de las siguientes funciones:
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3.- Representación de funciones

Definición

La gráfica de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y=f(x)

Ejemplos

1.- Hallar los puntos de la curva y=x2-5x+6 que pertenecen al eje de abscisas o al eje de ordenadas.

2.- Representar la gráfica de la función f de R en R dada por

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4.- Operaciones con funciones

Suma de funciones.

Definición

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y1 = f1(x) y y2 = f2(x).
Se llama función suma de ambas, a la función:
ys = y1+y2 = f1(x)+f2(x).

Análogamente podemos definir la función diferencia como
yd = y1-y2 = f1(x)-f2(x)

Propiedad

El dominio de definición de la función suma, y también el de la función diferencia será la intersección de los dominios de ambas funciones.

Ejemplos

Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:
1.- f1(x)=x2+1 f2(x)=-2x2+4
ys=y1+y2=x2+1-2x2+4=-x2+5.
Además,

2.-

Nota:

Observa que el dominio de la función resultante solo sería toda la recta real salvo el cero, que no coincide con la intersección de los dominios. A pesar de esto no debes calcular el dominio trabajando con la función resultante sino con la intersección.

Ejercicios

Calcula las funciones suma y diferencia de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:

Producto y cociente de funciones.

Definición

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y1 = f1(x) y y = f2(x).
Se llama función producto de ambas, a la función:
yp = y1×y2 = f1(x)×f2(x).

Análogamente podemos definir la función cociente como

Propiedad

Análogamente a lo que ocurre con las funciones suma y diferencia, el dominio de definición de estas funciones vuelve a ser la intersección de los dominios.
Pero además, en la función cociente, habrá que quitar todos los puntos que anulen a f2(x) puesto que serán puntos que anulen el denominador de dicha función.

Ejemplos

1.- Dadas las funciones y1=x+1 y y2=x+2 calcula yp así como yc con sus dominios respectivos.

puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.
2.- Idem con las siguientes funciones:

Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función y2 se anula para dicho punto.

Ejercicios

Calcular yp así como yc en los siguientes casos:

Función compuesta.

Definición

Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (gof) a la función (gof)(x)=g(f(x))

Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g.

Nota

Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En este caso, el dominio de definición de la nueva función sería:
Dom(gof)=

Ejemplos

1.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.
Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof)=Dom(f) = R
Además gof(x)=g(f(x))=(f(x))2+1=(x+1)2+1=x2+2x+1+1=x2+2x+2

2.- Estudiar la existencia de gof en el caso:
En este caso, Dom(g)=R luego el la función gof existe siendo además
Dom(gof)=Dom(f)=

3.-Dadas las funciones estudiar la existencia de gof y de fog

a)gof

Dom(g)=R\{0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces no existirá gof. Veámoslo:
.
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este caso. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que f(x)=0.
Dom(f)=R\{-2} Y Dom(gof)=R\{-2,1}
b)fog
Dom(f)=R\{-2}.
Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
.
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g(x)=-2.
Dom(g)=R\{0} Y Dom(gof)=R\{-1/5,0}

Ejercicios

1.- Dadas las funciones f(x)=3x-7 y g(x)=2x+k, determinar k para que gof=fog.

2.- Dadas la funciones , calcular si es posible la función gof.

3.- Dada la función , comprobar que (fofof)(x)=x

4.- Estudia la función gof siendo f(x)=8x-3

5.- Estudiar las funciones gof y fog en el caso

Función inversa.

Definición

Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por I(x).

Definición

Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. De otra forma:

Ejercicios

1.-Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no:

Definición

Sea y=f(x) una función. Llamamos función inversa (en caso de que exista) a una función notada f-1(x) que verifica que (f-1of)(x)=I(x) con I(x) la función identidad.
Para que exista la función inversa de f es necesario que la función f sea inyectiva.

Ejemplos

1.- Calcular si es posible la función inversa de .
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:

Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1. Calculémosla:

Ejercicios

1.- Calcular si es posible la función inversa de .

2.- ¿Existe la función inversa de f(x)=x2?

3.- Dada la función f(x)=4x-6; se pide:

a) ¿Existe f -1?
b) calcular f -1
c) Calcular f -1(f(3)) y f(f -1(3))
4.- Dadas las funciones f(x)=x2+1 y g(x)=2x+4. Calcular sus inversas si es posible.
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5.- Paridad de funciones

Definición

Una función y=f(x) se dice función par si para todo x del dominio se verifica f(-x)=f(x).
Una función y=f(x) se dice función impar si para todo x del dominio se verifica f(-x)=-f(x).

Propiedades

1.- Las funciones pares son funciones simétricas respecto del eje de ordenadas.
2.- Las funciones impares son funciones que gozan de una simetría central respecto del origen de coordenadas.

Ejercicios

Estudiar la paridad de las siguientes funciones:
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6.- Crecimiento y acotación de funciones

Definición

Una función y=f(x) se dice monótona creciente si para cualesquiera dos puntos x1 y x2 pertenecientes al dominio de f tales que x1<x2 se verifica que
f(x1)<f(x2).

Definición

Una función y=f(x) se dice monótona decreciente si para cualesquiera dos puntos x1 y x2 pertenecientes al dominio de f tales que x1<x2 se verifica que
f(x1)>f(x2).

Definición

f acotada superiormente .
A cualquier M que verifique esto lo llamamos cota superior de la función.

Definición

f acotada inferiormente .
A cualquier m que verifique esto lo llamamos cota inferior de la función.

Definición

Sea f una función acotada superiormente. Llamamos máximo de la función a la menor de todas las cotas superiores de dicha función.

Definición

Sea f una función acotada inferiormente. Llamamos mínimo de la función a la mayor de todas las cotas inferiores de dicha función.

Ejemplos

1.- Estudiar el crecimiento y acotación de la función y=2-x.
Veamos en primer lugar su representación gráfica:

Esta función es monótona decreciente en todo su dominio y no está acotada ni inferior ni superiormente.

2.- Idem con la función f(x)=x2-4
Veamos en primer lugar su representación gráfica:

En este caso vemos que la función no es monótona creciente ni decreciente. Lo que si podemos afirmar es que es decreciente en (-inf ,0) y creciente en (0,+inf)
Observa que esta función no está acotada superiormente pero si lo está inferiormente siendo una cota inferior suya -5. Observa también que su mínimo es -4.

Ejercicios

1.- Estudiar el crecimiento y acotación de las siguientes funciones:

2.- Estudiar la monotonía y acotación de las siguientes funciones en R, en [-1,1], en [-2,2] y en [-3,3]:

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7.- Límites de funciones

En el caso de una función y=f(x), la variable independiente es un número que pertenece a los números reales. Por tanto, las posibilidades de movimiento a lo largo del eje de abscisas son tres:

1.- Nos podemos dirigir hacia un punto concreto del eje de abscisas ( x0) viendo el comportamiento de la función cuando nos acercamos a ese punto

Por ejemplo nos podemos plantear cual es el comportamiento de la función y=x2 en el caso de que la variable independiente x se acerque a 2

Observa que en este caso la función se acerca a 4. En este caso diremos que .
Además podemos comprobar este hecho construyendo una tabla de valores que se aproxime a 2.

x

1

3

1.5

2.5

1.8

2.2

1.9

2.1

1.99

2.01

f(x)

1.00

9.00

2.25

6.25

3.24

4.84

3.61

4.41

3.96

4.04

Ejercicios

Calcula por este procedimiento: .
Realiza una interpretación geométrica.

2.- Se puede estudiar el comportamiento de la función cuando la variable x tiende hacia +inf.

Ejercicio

Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función f(x)=x2 cuando la x tiende hacia +inf, es decir, estudia .
Realiza una interpretación geométrica.

3.- De la misma forma cuando la x tiende hacia -inf.

Ejercicio

Utilizando una tabla de valores, estudia el comportamiento de la función cuando la x tiende hacia -inf, es decir, estudia .
Realiza una interpretación geométrica.
Observa que estudiar el límite de una función en cualquiera de los casos anteriores por el procedimiento utilizado, además de ser un trabajo pesado, no tiene mucha fiabilidad. Solo te puede servir para intuir cual será el límite. Es por esto, por lo que a partir de ahora veremos procedimientos para calcular límite de funciones de una manera mucho más rápida y precisa. Distingamos varios casos:

CASO 1

Supongamos que tenemos que calcular el límite de una función en un punto y que además se verifica: 1.- La función f no está definida a trozos.
2.- El punto x0 está en el dominio de la función.
En este caso se tiene que .

Ejemplos

1.- Calcula . En este caso Dom(f)=R. Luego como el punto 8 está en el dominio de la función f y además f no está definida a trozos, se tiene que .

2.- puesto que f no es función definida a trozos y Dom(f)=R\{-4} por lo que -2 sí está en el dominio de la función.

CASO 2

Supongamos ahora que f se trata de una función definida a trozos. Antes de comenzar a calcular límites en estos casos, veamos algunos conceptos previos. Anteriormente, hemos visto que para estudiar el límite de una función en un punto estudiábamos el comportamiento de la misma acercándonos al punto por ambos lados. Análogamente podemos preguntarnos que le ocurre a la función cuando la variable se acerca a un punto pero solo por un lado.
Es por esto por lo que podemos plantearnos el límite de una función por la derecha y por la izquierda.
Los notaremos .

Propiedad

Una función y=f(x) tiene límite en el punto x0 si y solo si existen los límites laterales de la función en ese punto y son iguales.
En ese caso: .

Ejercicios

1.- Dada la función .

2.- Calcula el límite de las siguientes funciones (si existe) en los puntos determinados.

3.- Se sabe que la gráfica de la función es

Calcular según la gráfica

4.- Dada la función estudiar en su gráfica

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8.- Calculo de límites

En un capítulo posterior estudiaremos el cálculo de límites de una manera sencilla utilizando la herramienta que nos proporciona la regla de L´Hopital. No obstante, te interesa recordar de cursos anteriores el cálculo de límites.

©Aníbal de la Torre		Última actualización: 15/02/1998