Capítulo 2: Continuidad de funciones.

1.- Definición de continuidad en un punto.

2.- Propiedades de la continuidad local.

3.- Discontinuidades.

4.- Continuidad en un intervalo.

5.- Propiedades de la continuidad en un intervalo. Teorema de Weierstrass.

CAPÍTULO 2: CONTINUIDAD.

1.- Definición de continuidad en un punto.

Definición.

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Observación

La continuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones: a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valores anteriores coinciden.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Definición

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Nota

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.
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2.- Propiedades de la continuidad local.

1.- Unicidad del límite. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

2.- Teorema del signo.

Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de
f(a).

3.- Anulación de la función.

Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.

4.- Acotación de la función.

Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.

5.- Continuidad y operaciones.

Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.

Ejemplos

1.- Estudiar la continuidad de las funciones:
2.- Se define la función signo de x por .
Representar la función y estudiar su continuidad.
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3.- Discontinuidades.

Definición

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Ejemplos

1.- Estudiar la continuidad de la función

2.- Hallar el valor que hay que dar a la función en x=0 para que sea continua en él.

3.- Hallar el verdadero valor de la función en x=3

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4.- Continuidad en un intervalo.

Definición

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Ejemplos

1.- ¿Es la función f(x)=x2 continua en el intervalo (-1,1)? ¿Y en el intervalo [-3,4]?

2.- ¿Es la función continua en el intervalo [-1,1]?

3.- Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,1]

4.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función

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5.- Propiedades de la continuidad en un intervalo. Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene máximo y mínimo en ese intervalo. Es decir f continua en [a,b]

Teorema de Bolzano

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que
f(c)=0.

Corolario

Si una función es continua en el intervalo [a,b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en [a,b] tal que f(c)=k

Teorema de Darboux o del valor intermedio

Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo.

Teorema

La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.

Nota

Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo da como resultado otra función continua en él, siempre que la operación tenga sentido.
©Aníbal de la Torre		Última actualización: 15/02/1998