CAPÍTULO 2: Continuidad

1.- Unicidad del límite. Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

2.- Propiedades de la continuidad local.

2.- Teorema del signo.

Si una función es continua en un punto

, entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de
f(a).

3.- Anulación de la función.

Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.

4.- Acotación de la función.

Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.

5.- Continuidad y operaciones.

Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.

Ejemplos

1.- Estudiar la continuidad de las funciones:

2.- Se define la función signo de x por

.
Representar la función y estudiar su continuidad.

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Discontinuidades.

Definición

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Ejemplos

1.- Estudiar la continuidad de la función

2.- Hallar el valor que hay que dar a la función en x=0 para que sea continua en él.

3.- Hallar el verdadero valor de la función en x=3

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

4.- Continuidad en un intervalo.

Definición

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Ejemplos

1.- ¿Es la función f(x)=x² continua en el intervalo (-1,1)? ¿Y en el intervalo [-3,4]?

2.- ¿Es la función continua en el intervalo [-1,1]?

3.- Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,1]

4.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función