2) Determinación de los intervalos de monotonía.

    La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero (véase la gráfica del apartado 7).

    Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.
Como consecuencia inmediata tenemos entonces el:

Teorema 1.-

Sea f una función definida en un intervalo entonces:

    a) Si f es creciente entonces 0f'.

    b) Si f es decreciente entonces f'0.

Teorema 2.-

    a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.

    b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.

    Dem.

    a) Si f fuese estrictamente decreciente, por el teorema 1 se tendría que 0f' y esto no puede ser. Si f fuese constante entonces f'=0, que tampoco puede ser; por tanto la única opción posible es que f sea estrictamente creciente.

    b) Si f fuese creciente aplicando el teorema 1 se tendría que f'0 y esto es una contradicción; si f fuese constante entonces f'=0 y como por hipótesis f'<0 la única posibilidad que queda es que f sea estrictamente decreciente.

    c.q.d.

    Como consecuencia del teorema anterior tenemos que para determinar los intervalos en que la función es creciente o decreciente tenemos que estudiar el signo de la primera derivada. Para ello:

    a) se obtiene la primera derivada de f(x) y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero

    b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la primera derivada, los puntos donde la función no es derivable y los puntos de acumulación del dominio de definición de la función que no pertenecen al dominio

    c) posteriormente se estudia el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la primera derivada es siempre el mismo)

    d) en donde tenga signo positivo la función es estrictamente creciente y donde tenga signo negativo la función es estrictamente decreciente.

Por ejemplo, supongamos que Dom (f)=R-{b}, que a y c son ceros de la primera derivada, que en d la función es continua y no derivable y que a<b<c<d entonces la tabla quedaría:
 
 
]-,a[
]a,b[
]b,c[
]c,d[
]d,+[
Signo de f'          
           
 

Si además obtenemos el signo de la primera derivada se obtiene:
 
 
]-,a[
]a,b[
]b,c[
]c,d[
]d,+[
Signo de f'
-
+
-
+
-
 Monotonía
D
C
D
C
D

 

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