Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.

    A) Se determinan los intervalos de concavidad, si en uno de esos intervalos la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo y en el siguiente cambia el sentido de la concavidad, siendo el extremo del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tendremos un punto de inflexión.

Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.

B) Teorema 7.-

Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión.

Dem.

Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el que x (a-x ,a+x ) se verifique que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente. Como f''(a)=0 entonces x (a-x ,a) f''(x)>0 (puesto que x<a) y por tanto f es cóncava hacia arriba; si x (a,a+x ) se tiene que x>a y como f''(a)=0 y f'' decreciente entonces f''(x)<0 y por tanto f es cóncava hacia abajo. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que f cambia en a de concavidad y por tanto tiene en a un punto de inflexión.

El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.

Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así sucesivamente.