Problemas de Dinámica

Vamos a ver ahora una serie de ejemplos de problemas de Dinámica donde aplicamos los conceptos que hemos visto hasta ahora. En general, los problemas de Dinámica consisten en determinar las fuerzasz que actuan sobre un cuerpo y la aceleración con la que se mueve dicho cuerpo. Para esto hay que hacer uso de la Segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleración.

En primer lugar, vamos a hablar de lo que se conoce como Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil sobre todo a aquellos que empiezan a estudiar la Dinámica. Después pasaremos a ver algunos ejemplos de problemas de Dinámica. Primero veremos el movimiento de un cuerpo sin rozamiento y posteriormente, estudiaremos el movimiento de un cuerpo con rozamiento.


Diagrama de cuerpo libre

En este apartado vamos a ver el Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil en la resolución de problemas de Dinámica, sobre todo en el caso de que haya más de un cuerpo.

A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actuan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actuan sobre él. Veamos un ejemplo de como hacer esto.

Ejemplo 1 Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actuan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán: Ejemplo 1. Fuerzas que actuan

Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúan sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

Diagramas de cuerpo libre>

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actuan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir que dirección será el eje x y cúal el eje y y cuales serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F = múa para cada eje.

Elección de ejes Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y

Vamos a aplicar ahora la Segunda ley de Newton en cada uno de los ejes.

En el eje y, las fuerzas que hay son la Normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la Normal será positiva y el Peso negativo. Tenemos as¡:

NA - MA·g = MA·aAy

Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el suelo, por lo que no habrá movimiento en la dirección y. La aceleración en esa dirección debe ser, por tanto, cero. Nos queda entonces:

NA - MA·g = 0

De aquí podemos obtener el valor de la normal para el cuerpo A:

NA = MA·g

Veamos que sucede en la dirección del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerza F que aplicamos nosotros y la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre A, FBA. La primera tendría sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con los ejes que hemos elegido anteriormente. De esta manera, al aplicar la Segunda ley de Newton obtenemos:

F - FBA = MA·aA

Con esta ecuación no podemos calcular nada más por ahora, ya que desconocemos cuanto vale FBA. Vamos a ver entonces qué ecuaciones obtenemos para el cuerpo B.

Para el cuerpo B tomaremos el mismo sistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, la aceleración en el eje y será cero puesto que el cuerpo ni se levanta ni se hunde en el suelo. Nos quedará entonces que:

NB = MB·g

o sea, que la normal que actua sobre B es igual al peso de B.

En la dirección x, la única fuerza que actua sobre el cuerpo B es la que ejerce A sobre él, FAB. Por tanto, la Segunda ley de Newton nos dice que:

FAB = MB·aB

En esta ecuación desconocemos tanto la fuerza como la aceleración del cuerpo B. Ahora bien, por la Tercera ley de Newton, las fuerzas FAB y FBA, tienen el mismo valor (aunque sentido contrario, tal como las hemos representado en los dibujos). Además, como los dos cuerpos se mueven conjuntamente, las aceleraciones tienen que ser las mismas ya que si no lo fueran, los cuerpos se separarian al moverse uno más rápido que el otro. Por tanto:

aA = aB = a

FBA = FAB

De esta forma, las ecuaciones para el eje x en los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:

F - FBA = MA·a

FBA = MB·a

Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas (a y FBA). Si sustituimos en la primera ecuación el valor de FBA que nos da la segunda ecuación y despejamos la aceleración obtenemos:

a = F / (MA + MB)

Hemos obtenido así la aceleración con la que se mueven los dos cuerpos, que era lo que era lo que pretendiamos.


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