Actividades para la adquisición de nuevos conocimientos

Actividad 1.- Alquilando coches

Necesitamos alquilar un coche durante todo un día. Pedimos presupuesto a dos agencias distintas y nos ofertan las siguientes tarifas de precios:

Agencia MUNDA: 12000 ptas. fijas más 40 ptas. por cada kilómetro que recorramos.
Agencia POLEY: 15000 ptas. fijas más 30 ptas. por cada kilómetro que recorramos.

¿Cuánto costaría realizar un viaje de 350 km. con cada una de las agencias?, ¿a cuánto nos sale al final cada kilómetro recorrido, durante el viaje anterior, en cada una de las agencias?
Construye una tabla considerando que recorremos 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300 km, en la que se refleje el coste total del alquiler y el coste total por kilómetro recorrido en ambas agencias. Estudia las variaciones medias y comenta. Representa los valores de la tabla en cuatro gráficos diferentes.
Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total del alquiler, en cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes y compara ambas ofertas.
Construye las fórmulas de dos funciones que nos den el coste total de cada kilómetro recorrido, para cada agencia, en función de los kilómetros que realicemos. Represéntalas en unos mismos ejes de coordenadas y compara ambas gráficas.

Actividad 2.- El recorrido Córdoba-Málaga, pasando por Aguilar

Sabemos que hay un tren que sale a las 9:00 de Córdoba con destino a Málaga, y durante su recorrido mantiene una velocidad constante de 80 km/h. Nuestro pueblo, Aguilar, está a 50 km de Córdoba y a 120 km de Málaga. Queremos estudiar los tres casos siguientes:

Caso 1: Distancia a la que se encuentra el tren de Córdoba en todo momento.
Caso 2: Distancia a la que se encuentra el tren de Málaga en todo momento.
Caso 3: Distancia a la que se encuentra el tren de Aguilar en todo momento.

Haz el estudio, en cada caso, según el siguiente esquema de trabajo y contesta a las siguientes preguntas:

¿Cuáles son las variables independientes y dependientes?
¿Cuál es la unidad de medida más adecuada para cada variable?
Construye una tabla de valores, dejando en cada caso indicadas las operaciones que realices.
Calcula la fórmula que te da la distancia dependiendo del tiempo transcurrido.
¿Cuál es el dominio de la función?.
Calcula usando la fórmula, la distancia a la que se encuentra el tren de Málaga a las 10:05, la hora a la que llega a Aguilar, y la hora a la que llega a Málaga. Comprueba si en los tres casos las horas coinciden.
Dibuja en un mismo gráfico las tres funciones. ¿Qué significado tienen los puntos donde se cortan las gráficas?. ¿En qué intervalos disminuye la distancia a Aguilar?

Actividad 3.- Trabajando la inclinación o pendiente de las rectas

Abre el programa Derive. Usando, repetidamente las opciones Author y Expression, introduce las funciones: y = x, y = 2x, y = 4x, y = (1/2)x, y = (1/10)x, y = -x, y = -2x, y = -4x, y = -(1/2)x, y = -(1/10)x.

Con la opción Window, abre una ventana de dos dimensiones, y, usando la misma opción, organiza las dos ventanas en vertical.

Ilumina una función, pasa a la ventana gráfica, y pulsa la opción Plot. Repite el proceso hasta obtener la gráfica de todas las funciones.

Explica qué ocurre con la inclinación de las rectas dependiendo del coeficiente de x.
Fíjate en las funciones y = x e y = -x, ¿tienen algún tipo de relación? ¿Cómo son sus gráficas?
Pulsa sobre Options y después en Trace Mode. Mueve con las teclas de cursor el cuadrado en que se ha transformado la cruz, y observa la parte inferior izquierda de la pantalla, donde están las coordenadas de la cruz. Construye una tabla de valores de las funciones y = (1/2)x, y = -2x.

Actividad 4.- Estudiando la ordenada en el origen de las rectas

Al igual que en la actividad anterior, usando Derive, introduce las funciones y = 2x, y = 2x +1, y = 2x + 3, y = 2x -2, y = 2x -(7/2), y represéntalas gráficamente.

¿Cómo son estas rectas?
¿Dónde cortan estas rectas al eje vertical? ¿Coincide este valor con alguno de los dos parámetros de estas funciones afines?

Actividad 5.- La declaración de la renta

Sabes que cada año, los ciudadanos tienen que presentar la declaración de Hacienda. Hay que declarar lo que se ha ganado para pagar lo que corresponda, de modo que el que más gane, más pague.

Hay dos formas de hacer el cálculo de lo que se ha de pagar: la normal y la simplificada. Como en ambas se manejan muchas cantidades y resultan un tanto engorrosas, vamos a dar aquí, mediante gráficas, unos modelos parecidos a los reales pero mucho más sencillos.

¿Cuál es la variable independiente?
¿Cuál es la variable dependiente?
¿Cuál es el dominio?
¿Cuál es el recorrido?
¿Al aumentar la variable independiente aumenta la dependiente?
¿Es continua?

¿Cuál es la variable independiente?
¿Cuál es la variable dependiente?
¿Cuál es el dominio?
¿Cuál es el recorrido?
¿Al aumentar la variable independiente aumenta la dependiente?
¿Es continua?

Actividad 6.- El templo Griego

En una visita a Grecia nos ha llamado la atención una figura geométrica presente en un templo de Atenas:
Pudo medirse sólo dos dimensiones de dicha figura: h = 2 cm y l = 6 cm.
Por el camino de vuelta se pensó qué podría ocurrir si se variaba el radio del círculo, ya que se desconocía al no poderse medir.

Dibuja dicha figura para valores diferentes del radio. Por ejemplo: 1, 2, 3 cm.
¿Qué otros valores le puedes dar al radio x del círculo? ¿Cuál será el valor mínimo que puede tomar? ¿Y el máximo?
¿Cómo será el dibujo si el radio x es igual a cero.?. Hazlo.
¿Puede tomar x el valor 4? ¿Por qué?
Calcula el área de la figura sombreada para x = 0, 1, 2, 3, y ordena los valores de x y del área en una tabla.
¿Existe alguna relación de dependencia entre el radio y el área?
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente? ¿Por qué?
Generaliza, y calcula el área de la figura en función del radio x del círculo: A(x)
Completa la siguiente tabla:

x	0	0'5	0'75	.	1'25	1'5	1'75	2	2'5	3
A(x)	.	.	.	14	.	.	.	.	.	.

Construye a partir de la tabla anterior la gráfica correspondiente a la función A(x).
A partir de la gráfica, si el radio es 0'6 cm, ¿cuál será el área aproximada de la figura? Si el área de la figura es 15 cm2, ¿cuánto medirá aproximadamente el radio del círculo?
Realiza los mismos cálculos del apartado anterior pero usando la fórmula de la función?
¿Qué puedes deducir si comparas los resultados obtenidos por un procedimiento y por el otro?
Si volvemos a la gráfica que has realizado, vemos que sólo has obtenido un trozo de una función que parece poderse prolongar sin mayor problema, pero ¿podemos hacerlo en el contexto del problema?
La función obtenida prolóngala dándole todos los valores que necesites y represéntala.

Esta función que has representado nos debe servir de modelo para otros problemas del mundo real. Nuestro siguiente paso es hacer una modelización de este tipo de funciones.
Continuemos un poco más con el planteamiento inicial del problema. Después de visitar el templo entramos en una tienda de souvenirs para comprar una tarjeta postal y enviarla a un amigo; cuál fue nuestra sorpresa al ver una de forma cuadrada y que contenía el dibujo que nos había llamado la atención; nos pusimos a medir el lado de la tarjeta que era de 6'2 cm y nos seguimos planteando un problema similar.

¿Cuál sería el área sombreada de la tarjeta si variamos el radio del círculo tal como lo hemos estado haciendo antes? Obtén la nueva función S(x).
Construye una tabla de valores y la gráfica de esta nueva función.
¿Qué tiene de diferente o de común con la que construiste anteriormente?
Haz un análisis cuantitativo lo más completo posible de las dos gráficas.
Las funciones que hemos construido A(x) y S(x) se ajustan al modelo cuadrático. ¿Cuál es el valor de a, b y c, en cada una de las dos funciones?
Habrás observado, que hay un punto característico en las gráficas, el máximo o mínimo, al que llamamos vértice de la parábola. Intenta calcularlo a partir de las gráficas.
¿Cuál será el valor que le podemos dar al radio x para que el área sombreada de la figura inicial sea la mayor posible?
¿Cuál será el valor que le podemos dar al radio x para que el área sombreada de la tarjeta postal sea lo más pequeña posible?
De la función A(x) que nos da el área de la figura inicial, obtén dos puntos con la misma ordenada. ¿Pueden ser los puntos que tienen de ordenada cero? ¿Dónde se encuentran? Calcula el punto medio del segmento que une dichos puntos.
Prueba lo mismo que en el apartado anterior con otras ordenadas. Construye una tabla para organizar mejor la información.
Intenta obtener una expresión algebraica que te permita calcular la abscisa del vértice de una parábola.

Actividad 7.- El cercado rectangular

Un ganadero tiene 100 m. de vallado para construir un cercado rectangular, aprovechando, como uno de los lados, una pared que ya tiene construida.

Encuentra la relación que existe entre la anchura del cercado y su perímetro.
Encuentra la relación que existe entre la anchura del cercado y su área.

Actividad 8.- El proyectil y el avión

Una persona dispara desde el suelo un proyectil que describe una trayectoria dada por la función f(x)=-x²+102x-200. Otra pilota un avión teledirigido que sigue una trayectoria definida por la función g(x)=2x+2 mientras que el proyectil está en el aire (x: metros, f(x) y g(x): altura en metros).

Representa en unos mismos ejes ambas trayectorias.
¿Desde qué punto se ha disparado el proyectil? ¿Desde qué punto ha salido el avión?
¿Cuál sería el alcance máximo del proyectil si no impacta con el avión?
¿A qué distancia del punto de disparo alcanza el proyectil la máxima altura? ¿Cuál es ésta?
¿A qué alturas se encuentra el proyectil en x=10 m? ¿Y en x=92 m? Encuentra parejas de valores de x para los que el proyectil esté a la misma altura. ¿Cuántas podrás encontrar?
¿En qué puntos se encuentran a las mismas alturas avión y proyectil? ¿Cuáles son éstas?
¿En qué intervalos es mayor la variación que experimenta el avión que la que experimenta el proyectil?

Actividad 9.- Las funciones parabólicas. Sus posiciones en el plano

Abre Derive e introduce las funciones y=x², y=2x², y=(1/2)x², y=-x², y=-2x², y =-(1/2)x², y represéntalas gráficamente.

¿Cómo influye el valor del coeficiente en el aspecto de la gráfica?
¿Dónde alcanza la función el valor máximo o mínimo? ¿Cuál es ese punto y cómo se llama?

Borra todo lo anterior e introduce y representa las funciones y=2x², y=2x²+1, y=2x²+2, y=2x²-3

¿Qué significado tiene desde el punto de vista gráfico el término independiente?
¿Dónde alcanza la función el valor máximo o mínimo? ¿Cuál es ese punto y cómo se llama?
Si nos fijamos en la función y = 2x², ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?
Escribe una expresión general para este tipo de parábolas

Borra todo lo anterior e introduce y representa las funciones y =2x², y=2(x-2)², y=2(x-4)², y=2(x+1)², y=2(x+3)².

¿Dónde alcanza la función el valor máximo o mínimo? ¿Cuál es ese punto y cómo se llama?
Si nos fijamos en la función y = 2x², ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?
Escribe una expresión general para este tipo de parábolas

Borra todo lo anterior e introduce y representa las funciones y=2x², y=2x²-3, y=2(x-2)²-3, y=-2(x-2)²-3, y=-2(x+2)²-3.

¿Dónde alcanza la función el valor máximo o mínimo? ¿Cuál es ese punto y cómo se llama?
Si nos fijamos en la función y = 2x², ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?
Escribe una expresión general para este tipo de parábolas

Actividad 10.- Trabajando con el DIN A-4

Estando dibujando en una cartulina del tamaño del DIN A-4, cuyas dimensiones son 21x29,7 cm., pensé qué ocurriría si modificase las dimensiones de la cartulina, pero conservando su área. No lo pensé dos veces, y calculé el área: Área = 21x29,7 = 623,7 cm².

Calcula otras posibles dimensiones, pero sin olvidarte que el área es 623,7 cm².
¿Cómo te organizarías más cómodamente el trabajo?
¿Puedes completar la siguiente tabla?

Ancho	10	15	20	21	25	30	40	50	60	70	80
Alto	.	.	29'7	.	.	.	.	.	.	.	.

Estás trabajando con dos magnitudes, el ancho y el alto.

Construye la gráfica de puntos correspondiente.
¿Tendría sentido unir los puntos de esta gráfica?
¿Cómo es la gráfica que obtienes? ¿Qué tiene de particular?
Comenta con tus compañeras-compañeros aspectos que te llamen la atención o te sugieran situaciones especiales.
¿Podemos darle al ancho el valor cero?
Si al ancho le damos el valor x, ¿cuál sería el alto?
En la expresión obtenida dale a x los siguientes valores: 1/2, 1/5, 1/10, 10^-2,10^-8.
Obtén los valores de alto correspondiente a los siguientes anchos: 10², 10³, 10⁵, 10⁷.

Actividad 11.- Temperaturas

En un experimento químico intervienen dos compuestos, A y B. Utilizando como variable independiente, x, el tiempo transcurrido, medido en horas, y estableciendo que el valor x = 0 indica el comienzo del experimento, hemos comprobado que las temperaturas, en ºC, de los compuestos A y B vienen dadas por las fórmulas:

Compuesto A:

Tiempo, en hora: x
Temperatura, en ºC: y
Fórmula: y = 15/(x+1) + 6

Compuesto B:

Tiempo, en hora: x
Temperatura, en ºC: y
Fórmula: y = -(x²/4) + 2x + 5

Queremos hacer un estudio comparativo de la evolución de las temperaturas de ambos compuestos, resaltando los aspectos más significativos.

Construye una tabla de valores para ambas funciones.
Representa gráficamente ambas funciones en los mismos ejes.
¿Al cabo de cuánto tiempo alcanza el compuesto A la temperatura mayor posible? ¿Y el compuesto B?.
¿Cuál es la temperatura menor que alcanza el compuesto A? ¿Y el B?.
¿Estarán en algún instante a la misma temperatura ambos compuestos?.

Actividad 12.- La hipérbola. Posiciones en el plano

Abre Derive e introduce y representa las funciones: y=1/x, y=2/x, y=1/(3x), y=-1/x.

Obtén una tabla de valores de dos de ellas. ¿Qué valor toman para x=0, x=10⁶?
¿Cómo influye el valor del coeficiente en el aspecto de la gráfica? Explícalo.

Borra lo anterior e introduce y representa las funciones: y=1/x, y=1/(x+1), y=1/(x+3), y=1/(x-2)

¿En qué puntos no están definidas cada una de estas funciones?
¿Qué valor toman para x=10^-6, x=10⁶?
Si nos fijamos en la función y = 1/x, ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?

Borra lo anterior e introduce y representa las funciones: y=1/x, y=1/(x+1) +2, y=1/(x-2) -1

¿En qué puntos no están definidas cada una de estas funciones?
¿Qué valor toman para x=10^-6, x=10⁶?
Si nos fijamos en la función y = 1/x, ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?

Actividad 13.- Los intereses de un millón

Se coloca un millón de ptas. al 12% de interés.

¿Qué variable vas a considerar independiente y cuál dependiente?
¿Cuánto dinero se tendrá al cabo de 1 año? ¿Y al cabo de 2?
Construye una tabla con el dinero que se tendrá en los distintos años.
Representa gráficamente los puntos de dicha tabla.
¿Puedes unir los puntos? ¿Tendría sentido?
¿En cuánto tiempo se duplicará?.
Encuentra una expresión que nos dé el dinero obtenido en función del tiempo transcurrido y obtén todas las conclusiones que puedas.

Actividad 14: El cambio de la presión atmosférica

La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Aproximadamente al ascender un km, la presión es 0'9 veces la existente un km. más abajo. Al nivel del mar la presión atmosférica es de una atmósfera.

¿Qué variable vas a considerar variable independiente y cuál dependiente?
¿Qué presión se tendría a un km de altura? ¿Y a 2? ¿Y a 3?
Encuentra una expresión que nos dé la presión que existe dependiendo de la altura.
Supongamos que esta relación es cierta cuando le damos valores negativos, esto es, cuando nos sumergimos en el agua. Construye una tabla de valores para esta función.
Representa gráficamente estos valores
¿Se alcanzará en alguna altura una presión negativa?
Analiza qué ocurre cuando le demos a x valores muy grandes, esto es, cuando estemos a gran altura.
Analiza qué ocurre cuando le demos a x valores muy pequeños, esto es, cuando estemos sumergidos a gran profundidad.
Dibuja la gráfica completa
¿Qué propiedades tiene la función?
Si un montañero desciende desde 1000 m. al nivel del mar y otro desciende desde una altitud de 5000 m a 4000 m ¿ aumentará su presión lo mismo?

Actividad 15: La función exponencial. Estudio gráfico

Abre Derive e introduce y representa las funciones y =2^x, y = 3.2^x, y=(1/4)2^x, y = -3.2^x

¿Qué valor toman estas funciones para x = 10^-7? ¿Y para x = 10^-7? ¿Y para x = 0?
¿Qué diferencia hay entre estas funciones?

Borra lo anterior e introduce y representa las funciones y = 2^x, y = 2^x-1, y = 2^x+2.

¿Qué valor toman estas funciones para x = 10^-7? ¿Y para x = 10^-8?
¿Para qué valores de x toma la función el valor 1?
Si nos fijamos en la función y = 2^x, ¿podemos obtener las demás a partir de ésta? ¿Cómo?

Borra lo anterior e introduce y representa las funciones y = 2^x, y = 2^-x.

Obtén una tabla de valores completa utilizando la hoja de cálculo
¿Coinciden en algún valor ambas funciones?
A partir de las gráficas enuncia todas las propiedades de las dos funciones.
¿Observas algún tipo de simetría entre estas dos gráficas? Explícala.

Actividad 16: Las mareas del puerto.

La gráfica siguiente muestra cómo varía la profundidad del agua de un puerto a lo largo de un miércoles particular.

¿Cuándo hay pleamar/bajamar? ¿Cuándo está subiendo/bajando el nivel del agua?
¿Cuándo sube/baja más rápidamente el nivel del agua?
¿Cuál es la profundidad media del agua? ¿Cuánto varía la profundidad desde ese valor medio?
Los barcos sólo pueden entrar al puerto cuando el agua es lo suficientemente profunda. ¿Qué factores determinarán cuándo puede entrar o salir del puerto un barco determinado?

El barco del diagrama tiene un calado de 5 m cuando está cargado y sólo 2 m cuando está descargado. Discute cuándo puede entrar y salir sin peligro del puerto.
Haz una tabla mostrando cuándo pueden entrar y salir barcos de distintos calados, durante ese miércoles.
Intenta completar la gráfica para predecir cómo variará la marea el jueves. ¿Cómo habrá que ajustar para el jueves la tabla que has hecho en el epígrafe anterior? ¿Y para el viernes?

Nota.-

Las actividades 2, 7, 8, 11, 14 se les propondrán ya trabajadas para que los alumnos y alumnas adquieran estrategias propias de la actividad matemática como se ha previsto en el planteamiento metodológico.