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2 Conjugación de los números complejos.


ÍNDICE

2.1 Definición.

2.2 Propiedades de la conjugacíon.


2.1 Definición.

Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Llamaremos conjugado de z, y lo notaremos por z´, al número complejo z´ = a - b·i.

En forma cartesiana el conjugado de (a,b) es (a,-b).
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2.2 Propiedades de la conjugacíon.

  1. El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número complejo: (z´)´ = z.
    En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> (z´)´ = a - (- b·i) = a + b·i = z
  2. El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´.
    En efecto, sean
    z1 = a + b·i y z2 = c + d·i; es z1´ = a - b·i y z2´ = c - d·i, por tanto z1´ + z2´ = a - b·i + c - d·i = (a+c) - (b+d)·i = (z1 + z2.
  3. El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (- z)´ = - z´.
    En efecto, sea z = a + b·i ==> - z = - a - b·i ==> (- z)´ = - a + b·i = - (a - b·i) = - z´.
  4. El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.
    En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i. Es z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)·i, de donde (z1 · z2)´ = (ac - bd) - (ad + bc)·i.
    Por otra parte, z1´ · z2´ = (a - b·i) · (c - d·i) = [ac - (-b)(-d)] + [a(-d) + c(-b)]·i = (ac - bd) + (-ad - bc)·i = (ac - bd) - (ad + bc)·i = (z1 · z2)´.
  5. El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´.
    En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> 1/z´ = [a - (- b)·i]/(a2 + b2) = (a + b·i)/(a2 + b2). Por otra parte, 1/z = (a - b·i)/(a2 + b2) ==> (1/z)´ = (a + b·i)/(a2 + b2) = 1/z´.
  6. El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´.
  7. z es un número real <==> z = z´.
  8. z es imaginario puro <==> z = -z´.
Estas tres últimas propiedades son de inmediata demostración.
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