CAPITULO 3 INDICE CAPITULOS CAPITULO 5
[CAPÍTULO 3] [ÍNDICE CAPÍTULOS] [CAPÍTULO 5]

4 Formas polar y trigonométrica de un número complejo.


ÍNDICE

4.1 Representación geométrica de un número complejo.

4.2 Forma trigonométrica y forma polar.

4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar


4.1 Representación geométrica de un número complejo.

Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma cartesiana es
z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2, y en él un sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z = a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2 y el cuerpo de los núneros complejos C.
El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es:
|OP| = (a2 + b2)1/2 = |z|
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.
Sea r = |z|
. Si x es su argumento, se tiene que:
sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
Luego podernos escribir
z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)
INDICE


4.2 Forma trigonométrica y forma polar.

Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento.
Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.
INDICE


4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales:
Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:
cos x = cos y ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z
sen x = sen y
Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:
rx = rx + 2·k·pi
INDICE


4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar

Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:
a = r·cos x
b = r·sen x
Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que:
|z| = (a2 + b2)1/2
Además es:
b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x
Por tanto
x = arc tg (b/a)
estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.
INDICE