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5 Operaciones con números complejos en forma polar.


ÍNDICE

5.1 Producto.

5.2 Cociente.

5.3 Potencia.


5.1 Producto.

Sean z1 = r1·(cos x + i·sen x) y z2 = r2·(cos y + i·sen y) dos números complejos en forma trigonométrica. Es:
z1·z2 = [r1·(cos x + i·sen x)]·[r2·(cos y + i·sen y)] = r1·r2·(cos x + i·sen x)·(cos y + i·sen y) = r1·r2·(cos x cos y + i·cos x sen y + i·sen x cos y + i2·sen x sen y) = r1·r2·[(cos x cos y - sen x sen y) + i·(cos x sen y + sen x cos y)] = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
Es decir;
z1·z2 = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
En forma polar sería:
rx·r´y = (r·r´)x + y
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5.2 Cociente.

Veamos en primer lugar cómo se calcula el inverso de un número complejo en forma polar.
Sea
z = r·(cos x + i·sen x) = a + b·:i , donde a = r·cos x y b = r·sen x
Tenemos:
1/z = a/(a2 + b2) - [b/(a2 + b2)]·i = (r·cos x)/(r2cos2x + r2sen2x) - [(r·sen x)/(r2cos2x + r2sen2x)]·i = (cos x)/[r·(cos2x + sen2x)] - i·(sen x)/[r·(cos2x + sen2x)] = (1/r)·cos x - (1/r)·i·sen x = (1/r)·(cos x - i·sen x) = (1/r)[cos(-x) + i·sen(-x)]
Es decir,
1/rx = (1/r)-x

Por lo tanto, la expresión del cociente de números complejos vendrá dada por:
rx /r´y = (r/r´)x - y
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5.3 Potencia.

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:
zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x
Es decir,
(rx)n = (rn)n·x
Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:
z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x)
De donde:
cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n
expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.
Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :
cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x + (43)·cos x·i3·sen3x + (44)i4·sen4x = cos4x + 4·i·cos3x·sen x - 6·cos2x·sen2x - 4·i·cos x·sen3x + sen4x = (cos4x - 6·cos2·sen2x + sen4x) + (4·cos3x·sen x - 4·cos x·sen3x)·i
Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:
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