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6 Raíz n-ésima de un núnero complejo.


ÍNDICE

6.1 Raíz n-ésima.

6.2 Teorema.


6.1 Raíz n-ésima.

Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número complejo w = sy de forma que wn = (sy)n = rx. Es decir:
(sn)n·y = rx ==> sn = r  ==> s = r1/n
n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z
Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz n-ésima de z.
INDICE


Teorema.

Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.

Demostración.

Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s = r1/n e y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z.
Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,...,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-ésimas de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.
Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea es:
t = p·n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.
Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:
y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·pi
De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de los xk que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,...,n-1}.

c.q.d.

En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la siguiente manera: INDICE