8.1 Conjuntos de puntos

Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un elemento del conjunto. En el plano complejo se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.

  1. Vecindades. Una vecindad de radio d de un punto z0 es el conjunto de todos los puntos z tales que |z -z0| < d, donde d es cualquier número real positivo dado. Una vecindad reducida de radio d de un punto z0 , es el conjunto de los puntos z tales que 0 < |z -z0| < d.

  2.  
  3. Puntos límite. Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación de un conjunto S si cada vecindad d reducida de z0 contiene puntos de S.

  4.  
  5. Conjuntos cerrados. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos de acumulación. Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| £ 1 es un conjunto cerrado.

  6.  
  7. Conjuntos acotados. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos encontrar una constante M tal que |z| <M para cada punto z de S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se llama compacto.

  8.  
  9. Punto interior, exterior y frontera. Un punto z0 se llama un punto interior de un conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si cada vecindad d de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto S, entonces es un punto exterior de S.

  10.  
  11. Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consta solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z| < 1 es un conjunto abierto.

  12.  
  13. Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de recta (esto se llama un camino poligonal) contenidos es S.

  14.  
  15. Regiones abiertas o dominios. Un conjunto abierto conexo se llama región abierta o dominio.

  16.  
  17. Clausura de un conjunto. Si a un conjunto S agregamos todos los puntos de acumulación de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto cerrado.

  18.  
  19. Regiones cerradas. La clausura de una región abierta o dominio se llama una región cerrada.

  20.  
  21. Regiones. Si a una región abierta o dominio agregamos algunos, todos o ninguno de sus puntos límite, obtenemos un conjunto llamado región. Si se agregan todos los puntos de acumulación está cerrada; si ninguno es agregado, la región está abierta.

  22.  
  23. Unión e intersección de conjuntos. Un conjunto consiste en todos los puntos pertenecientes al conjunto S1 o al conjunto S2 o a ambos conjuntos, se llama la unión de S1 y S2 y se denota por S1+S2 o S1ÈS2. Un conjunto consistente en todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S1 y S2, se llama la intersección de S1 y S2 y se denota por S1S2 o S1Ç S2.

  24.  
  25. Complemento de un conjunto. Un conjunto que consiste en todos los puntos que no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por .

  26.  
  27. Conjuntos vacíos y subconjuntos. Es conveniente considerar un conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío y se denota por Æ. Si dos conjuntos S1 y S2 no tienen puntos en común (conjuntos disjuntos), podemos escribir S1ÇS2= Æ.

  28. Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.
     
  29. Numerabilidad de un conjunto. Si los miembros o elementos de un conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números naturales, el conjunto es llamado numerable; de lo contrario se llamará no numerable.

  30.  
Ejemplo 16
    AnteriorSiguiente