Dados tres puntos distintos z2, z3, z4 en el plano ampliado, existe una transformación lineal T que transforma estos puntos en 0, 1, ¥ . Si ninguno de los puntos dados es ¥ , T podrá escribirse
Si z2, z3 ó z4= ¥, la transformación se reduce, respectivamente, a
Se define la razón doble de cuatro puntos, y se denota por (z1, z2, z3, z4), a la imagen de z1 mediante la transformación lineal que transforma z2, z3, z4 en 0, 1, ¥ .
La razón doble es invariante respecto a las transformaciones lineales. Con una formulación más precisa:
Si z1, z2, z3, z4 son puntos distintos en el plano ampliado y S es una transformación lineal cualquiera, se tiene que (S z1, S z2, S z3, S z4) = (z1, z2, z3, z4).
La razón doble (z1, z2, z3, z4) es real si y sólo si los cuatro puntos son concíclicos o están alineados.
Una transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias.
