Definición. Soluciones. Equivalencia de sistemas.



1. Definición

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:


ax + by = p
cx + dy = q

donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes.

Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:


 x + y = 10
x - y = 2

Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.

Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:

Entre lápices y gomas tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lápices más que gomas. ¿Cuántos lápices y cuántas gomas tengo?

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.

2. Soluciones

En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.

En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números.

¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.

3. Equivalencia de sistemas

Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.

Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación así: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.

De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:

Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o se multiplican ambos por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes:

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).

Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las siguientes:

Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.

¡RAZONA!¿Cómo puedes comprobar si un par de números es solución de un sistema de ecuaciones?



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Clasificación de sistemas



© Jesús Duarte y Juanma Sánchez