Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones



La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las ocasiones.

De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución.

Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son:

  1. Comprender el problema.
  2. Plantear el problema.
  3. Resolver el problema (en este caso, el sistema).
  4. Comprobar la solución.

Todo ello quizás quede más claro si se observa el siguiente cuadro que detalla, una a una, las cuatro fases de este proceso:

1. Comprender el problema.
  • Leer detenidamente el enunciado.
  • Hacer un gráfico o un esquema que refleje las condiciones del problema.
  • Identificar los datos conocidos y las incógnitas.
2. Plantear el problema.
  • Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de acción,
  • Elegir las operaciones y anotar el orden en que debes realizarlas.
  • Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.
3. Resolver el problema.
  • Resolver las operaciones en el orden establecido.
  • Resolver las ecuaciones o sistemas resultantes de la fase 2.
  • Asegurarse de realizar correctamente las operaciones, las ecuaciones y los sistemas.
4. Comprobar la solución.
  • Comprobar si hay más de una solución.
  • Comprobar que la solución obtenida verifica la ecuación o el sistema.
  • Comprobar que las soluciones son acordes con el enunciado y que se cumplen las condiciones de éste.

Veamos ahora con un ejemplo práctico el desarrollo de estas cuatro fases de la resolución de un problema mediante el uso de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. El enunciado del problema puede ser el siguiente:

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?.

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:


El número total de preguntas es 20, luego:	 x + y = 20
La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos:	x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:


De la segunda ecuación:	x = 2y + 8 ;
sustituyendo en la primera:
2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;
sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.

¡RAZONA!¿Habrá problemas con infinitas soluciones?. ¿Y sin solución?. Razona las respuestas.



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© Jesús Duarte y Juanma Sánchez