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 Capítulo 3: Frisos


3.1.- Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.

La búsqueda de los movimientos que dejan invariante una figura es un problema muchas veces simple (otras no tanto), que puede ser muy instructivo; dado que se trata siempre de un grupo (llamado, impropiamente, el grupo de simetría de la figura), este problema enlaza con el estudio algebraico de los subgrupos del grupo de los movimientos.

Un caso muy interesante es el indicado en el título de este tema: se trata de estudiar los correspondientes subgrupos que permiten rellenar periódicamente (es decir, con traslaciones) tanto una banda plana (friso), como el plano completo (mosaico).

Es importante el resultado clave: solo existen 7 frisos (subgrupos que contengan traslaciones ) y 17 mosaicos (subgrupos que contengan 2 traslaciones  independientes) .
Para el caso de los mosaicos, presentaremos los 17  subgrupos:
del plano cuadriculado (11), triangulado con triángulos equiláteros (4), y dividido en hexágonos regulares (2).

Para rellenar una banda con un solo tipo de polígonos regulares, tiene que ser con cuadrados.
Para rellenar un plano con un solo tipo de polígonos regulares, un simple cálculo de los ángulos que deben confluir en un vértice nos da sólo tres posibilidades:
                Cuadrados (4x90º=360º)
                Triángulos equiláteros (6x60º)=360º
                Hexágonos (3x120º=360º)

Claramente, si permitimos deformaciones, entonces las posibilidades son infinitas.
Por otra parte, la posibilidad de utilización de varios tipos de figuras hace que el problema escape de cualquier cálculo. Por ejemplo, hay estudios sobre mosaicos con dos polígonos regulares, o con tres, o con polígonos no regulares, etc.


3.2.- Frisos. Subgrupos.

Del grupo < t , s , s > de simetría de la banda, determinamos los subgrupos que contienen traslaciones con los movimientos siguientes y sus composiciones:
                t es la traslación de vector t .
                s es la simetría vertical de eje x=1/2.
                s es la simetría horizontal, de eje la recta y=0.

Hay 7 subgrupos esencialmente distintos; pondremos unos generadores para cada uno y le adjuntaremos un esquema gráfico, que sirva para identificarlo.

 
Tipo I
< t >
Tipo II
< t .s > 
Tipo III
< t , s >
Tipo IV
< t , s >
Tipo V
< t , s .s >
Tipo VI
< s , t .s >
Tipo VII
< t , s , s > 
 
 


3.3.- Gif animado de formación del friso tipo I.

Vemos la formación del friso haciendo la traslación de vector (1,0):


3.4.- Gif animado de formación del friso tipo V.

Vemos la formación del friso haciendo la simetría central o giro de 180º y la traslación de vector (1,0):

3.5.- Gráficos de los 7 tipos de  frisos:



3.6.- Clasificación de frisos

 
Finalizamos el estudio de los frisos proporcionando un método sistemático para determinar el tipo al que pertenece un friso que presente un patrón periódico. Todas las preguntas se refieren precisamente a este patrón periódico:

 
¿Presenta simetría horizontal y vertical? Si es así, entonces tipo VII, y si no:

    ¿Presenta simetría horizontal? Si es así, entonces tipo III, y si no:

        ¿Presenta simetría central? Si es así, entonces tipo V, y si no:

            ¿Presenta simetría vertical y con deslizamiento? Si es así, entonces tipo VI, y si no:
 
                 ¿Presenta simetría vertical? Si es así, entonces tipo IV, y si no:

                     ¿Presenta simetría con deslizamiento? Si es así, entonces tipo II, y si no, tipo I.

Con este simple método podemos clasificar por ejemplo, los siguientes frisos:
 
 
ë 
ù 
tipo V
ë 
é 
ù 
û 
tipo IV
 
ë 
û 
tipo IV
ë 
é 
û 
ù 
tipo V
 
" 
A 
tipo V
È 
Ì 
tipo I