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LAS CÓNICAS. LUGARES GEOMÉTRICOS


SECCIONES CÓNICAS

Definición: Superficie cónica de revolución es una superficie generada por una recta (generatriz) al girar alrededor de otra recta (eje), con la que se corta en un punto V (vértice).

Al cortarla con un plano, según distintos ángulos, se forman las curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
 
 

LA ELIPSE

Trazado y definición.

Elipse es el conjunto de puntos del plano que verifican que la suma de las distancias desde cada uno de ellos a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos es una cantidad constante, que llamamos 2a.

En la práctica se puede realizar con dos chinchetas clavadas en dos puntos F y F´ de un cartón, de modo que la distancia F´F sea 12 cm, y unir las chinchetas con un hilo de longitud 20 cm. Manteniendo tenso el hilo con un lápiz se puede dibujar una curva deslizando el lápiz sobre el cartón. Esta curva cerrada es un elipse y los puntos F y F´ son los focos. Se puede observar que en cualquier punto P de la curva la suma de las longitudes PF + PF´ es siempre una cantidad constante (20 cm).

La forma de construir la elipse con dos chinchetas es la misma que utilizan los jardineros para hacer elipses sobre el terreno. Colocan dos estacas en el suelo y utilizan una cuerda de mayor longitud que la distancia entre las estacas.

Se pueden observar gráficas con los elementos de una elipse en el enlace: Elipse, construcción.
 

Elementos de la elipse.

En la elipse se distinguen los siguientes elementos:
 

Longitudes de los ejes. Distancia focal.

En una elipse se cumple la relación PF + PF´= 2a  para cualquier punto P.
La longitud de los semiejes se puede demostrar que es: OA = OA´= 2a.
La longitud del eje menor BB´ se designa por 2b, BB´ = 2b y por tanto: OB = OB´ = b.
La distancia focal FF´ se designa por 2c,  FF´ = 2c, y la semidistancia focal será: OF = OF´ = 2c.
 

Relación entre a, b y c.

La longitud de los segmentos BF y BF´ es igual al valor de a (ver figuras en el enlace).

Por una parte, BF = BF´, por ser B un punto de la mediatriz del segmento F´F. Por otra, siendo B un punto de la elipse, será:

BF + BF´ = 2a,  luego BF = BF´ = a

Considerando el triángulo rectángulo OFB, de catetos b y c y de hipotenusa a. El teorema de Pitágoras proporciona la relación:  a2 = b2 + c2

Excentricidad.

Si se observan varias elipses se ve que unas son redondeadas y otras son alargadas o achatadas. Esta característica de la elipse de ser más o menos redondeada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a:  e = c / a,  con  c<a.

Como c<a, se deduce que la excentricidad es un número comprendido entre 0 y 1. Cuanto más se aproxima la excentricidad a 1 más alargada o achatada es la elipse, tendiendo a confundirse con el eje mayor; y cuanto más se aproxima a 0 más se parece a una circunferencia.
 

La tangente a la elipse y los espejos elípticos.

La recta tangente en un punto P de la elipse tiene una importante propiedad: forma ángulos iguales con los radio vectores del punto P. Esta propiedad se utiliza en los espejos elípticos.

Consideremos un foco de luz situado en el foco de una elipse.  Cuando un rayo de luz emitido por un foco llega aun punto M de la superficie de un espejo elíptico, se refleja de forma que el rayo incidente y el rayo reflejado forman un ángulo igual con la tangente en M. Por tanto, los rayos que salen de un foco se reflejan en la curva y pasan por el otro foco.

En algunos lugares apropiados se puede asistir al hecho curioso de que dos personas, situadas cada una en los focos de una elipse, pueden mantener una conversación, pese al ruido que pueda haber a su alrededor. El digujo siguiente ilustra este curioso hecho.


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