4.- El estudio de funciones a través de las calculadoras gráficas

Con la calculadora gráfica TI-83, se pueden obtener las representaciones gráficas de cualquier función lineal y=ax+b, cuadrática y= ax²+bx+c, y de proporcionalidad inversa , a partir de las funciones elementales y=x, y=x² e , respectivamente.

Las transformaciones geométricas que permiten obtener las funciones generales a partir de las elementales son tres: dilatación o compresión, traslaciones verticales y horizontales. Si se prescinde de la primera de ellas(a=1), el estudio se reduce a funciones más sencillas.

En cada una de las pantallas siguientes de la calculadora TI-83, aparecen las funciones elementales y las obtenidas al multiplicar por a=2 y a=4, así como las representaciones gráficas:

En las tres gráficas se observa que a medida que aumentan los valores de a las gráficas se van alejando del eje horizontal , pues para un mismo valor de x se duplican , cuadruplican los valores de y.

Si en lugar de tomar valores de a1, se toman 0<a<1, como 1/2, 1/4, las correspondientes gráficas quedarían:

Los casos en que a <0 se representan en dos pasos: si a = - 1 hay una simetría de eje horizontal y a continuación la dilatación o compresión.

Las gráficas correspondientes a los valores a = - 1 quedarian :

Traslación horizontal.- Aplicar una traslación horizontal de h unidades a las funciones elementales lleva a la derecha o a la izquierda, según el signo de h. Teniendo en cuenta que se pasará de la función f(x) a f(x+h), si a h damos los valores 1 y 3 quedarían los siguientes gráficos:

Traslación vertical.- Aplicar una traslación vertical de h unidades a las funciones elementales lleva a subir o bajar, según el signo de h. Teniendo en cuenta que se pasará de la función f(x) a f(x)+h, si a h damos los valores 1 y -2 quedarían los siguientes gráficos:

 Cualquier función de las señaladas en el primer párrafo se puede obtener a partir de las elementales, utilizando los tres tipos de transformaciones. La función y=a x+ b, se podría escribir como y según la expresión utilizada habría que recurrir a dos o tres transformaciones geométricas.

Si la función y= 2x +1, se escribe y= 2(x -1) + 3, para pasar de y=x a la segunda expresión, se podrían realizar tres transformaciones: dilatación, traslación horizontal y traslación vertical:

La función de 2&ordm; grado y= 2x²+4x-1, se puede escribir como y=2(x+1)²-3, lo que lleva consigo 3 transformaciones:

Por último, la función , se podría escribir , lo que daría lugar a la aplicación de las tres transformaciones: