CLASES DE FUNCIONES INTEGRABLES:


TEOREMA 3:

Si f es una función monótona en [a , b], entonces es integrable sobre [a , b].

DEMOSTRACIÓN:

 

En primer lugar supongamos que f es no decreciente. Tomemos y tomemos un n de forma que con lo que se tiene que . Tomemos a continuación una partición de forma que los n n intervalos resultantes [tr-1 , tr] sean todos de la misma longitud (esta será ).

Se tiene que:

Luego como para todo hemos encontrado una partición P tal que:

, por el teorema 2 se tiene que f es integrable.


TEOREMA 4:

Toda función continua en [a , b] es integrable en [a , b].

DEMOSTRACIÓN:

Por se f continua en un cerrado y acotado (compacto) es uniformemente continua, luego existe un tal que . Tomemos el valor particular de para este valor existirá el tal que si entonces

Tomemos un número natural n de forma que con lo que . Consideremos la partición P={t0 , t1 , .............tn}de [a , b] de manera que el intervalo quede dividido en n (la longitud de cada parte será entonces )partes iguales. Siempre podremos tomar puntos x , y del intervalo (ti-1,ti) de forma que:

*

evidentemente luego se tiene que para estos x, y

por * se tiene que

Por lo tanto

Luego como hemos encontrado una partición que cumple se tiene que f es integrable

C.C.Q.D.


PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMAN:

 

lema. Si A y B son dos subconjuntos de R y . Se define :

Entonces    

                


TEOREMA 5:

Sea a<c<b. Si f es integrable sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b]. Recíprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b], entonces f es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b], entonces:

DEMOSTRACIÓN

Supongamos en primer lugar que f es integrable sobre [a, b]. Si , existe una partición P = {t0 , t1 , ..............tn} de [a, b] tal que: . Se puede suponer que c = tj para algún j, en otro caso se puede tomar la partición con lo que:

 

.

Consideremos ahora la partición P’ = {t0 , t1 ,. tj} de [a, c] y la partición P’’={tj, ..tn} de [c, b]. Entonces como:

Se tiene que:

Como cada uno de estos sumandos es positivo, se tiene que serán menores que , luego hemos encontrado para todo valor de una partición P’ de [a, c] y otra P’’ de [c, b] tal que y Por lo tanto f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b].

Además como toda partición P de [a, b], se puede poner la forma siendo P’ una partición de [a, c] y P’’ una partición de [c, b] y

 

Sumando, tendremos que Como esto ocurre para toda partición P de [a, b] y dado que es el único número que verifica esta condición, se tiene que .

 

Supongamos ahora que f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b]. Dado un existirá una partición P’ de [a, c] y otra P’’ de [c, b] de modo que:

.

Sea P una partición que contiene a ambas, por ejemplo , se tiene que :

Por lo tanto f es integrable sobre [a, b]


Ahora se define            


TEOREMA 6:

 

Si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f + g es integrable sobre [a, b] y

DEMOSTRACIÓN:

Sea P = {t0 , t1 ,........tn} una partición de [a, b]. Sea:

y de la misma forma se define Mi , Mi’ , Mi’’. Según el lema, tenemos que  y .

Por tanto para toda partición P de [a, b] se tiene que:

 

y

De lo que se deduce que para toda partición P de [a, b]

. Así pues

Como f y g son integrables, existirán particiones P y P’ de [a, b] tales que:

Consideremos una partición P, que contenga a P’ y a P’’, por ejemplo . Para esta partición tendremos que:

Por lo tanto f + g es integrable.

Además:

Luego (1)

Análogamente:

 

Luego (2). De (1) y (2) se deduce la igualdad