y tomemos un n
de forma que 
con lo
que se tiene que 
.
Tomemos a continuación una partición 
de forma que los n n intervalos resultantes [tr-1 , tr]
sean todos de la misma longitud (esta será 
).CLASES DE FUNCIONES INTEGRABLES:
Si f es una función monótona en [a , b], entonces es integrable sobre [a , b].
DEMOSTRACIÓN:
En primer lugar supongamos que f es no decreciente.
Tomemos y tomemos un n
de forma que con lo
que se tiene que .
Tomemos a continuación una partición
de forma que los n n intervalos resultantes [tr-1 , tr]
sean todos de la misma longitud (esta será ).
Se tiene que:
Luego como para todo
hemos encontrado una partición P tal que:
,
por el teorema 2 se tiene que f es integrable.
Toda función continua en [a , b] es integrable en [a , b].
DEMOSTRACIÓN:
Por se f continua en un cerrado y acotado (compacto) es
uniformemente continua, luego
existe un 
tal
que 
. Tomemos
el valor particular de 
para este valor existirá el 
tal que si 
entonces
Tomemos un número natural n de forma que 
con lo que 
.
Consideremos la partición P={t0 , t1 ,
.............tn}de [a , b] de manera que el intervalo
quede dividido en n (la longitud de cada parte será entonces )partes
iguales. Siempre podremos tomar puntos x , y del intervalo (ti-1,ti)
de forma que:
*
evidentemente 
luego se tiene que para estos x, y 
por * se tiene que 
Por lo tanto 
Luego como hemos encontrado una partición que cumple
se tiene que f es integrable
C.C.Q.D.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMAN:
lema. Si A y B son dos subconjuntos de R y 
.
Se define :
Entonces 
Sea a<c<b. Si f es integrable sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b]. Recíprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b], entonces f es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b], entonces:
DEMOSTRACIÓN
Supongamos en primer lugar que f es integrable sobre [a,
b]. Si , existe
una partición P = {t0 , t1 , ..............tn}
de [a, b] tal que: .
Se puede suponer que c = tj para algún j, en otro caso
se puede tomar la partición 
con lo que:
.
Consideremos ahora la partición P’ = {t0 , t1 ,. tj} de [a, c] y la partición P’’={tj, ..tn} de [c, b]. Entonces como:
Se tiene que:
Como cada uno de estos sumandos es positivo, se tiene que
serán menores que 
,
luego hemos encontrado para todo valor de
una partición P’ de [a, c] y otra P’’ de [c, b]
tal que 
y 
Por lo tanto f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b].
Además como toda partición P de [a, b], se
puede poner la forma 
siendo P’ una partición de [a, c] y P’’ una
partición de [c, b] y
Sumando, tendremos que 
Como esto ocurre para toda partición P de [a, b] y dado que 
es el único número que verifica esta condición, se tiene que .
Supongamos ahora que f es integrable sobre [a, c]
y sobre [c, b]. Dado un
existirá una partición P’ de [a, c] y otra P’’ de [c,
b] de modo que:
.
Sea P una partición que contiene a ambas, por ejemplo
, se tiene que
:
.
Por lo tanto f es integrable sobre [a, b]
Ahora se define
Si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f + g es integrable sobre [a, b] y
DEMOSTRACIÓN:
Sea P = {t0 , t1 ,........tn} una partición de [a, b]. Sea:
y de la misma forma se define Mi , Mi’
, Mi’’. Según el lema, tenemos que 
y 
.
Por tanto para toda partición P de [a, b] se tiene que:
y
De lo que se deduce que para toda partición P de [a, b]
.
Así pues
Como f y g son integrables, existirán particiones P y P’ de [a, b] tales que:
Consideremos una partición P, que contenga a P’
y a P’’, por ejemplo .
Para esta partición tendremos que:
Por lo tanto f + g es integrable.
Además:
Luego 
(1)
Análogamente:
Luego 
(2). De (1) y (2) se deduce la igualdad
