Si f es integrable en [a, b], entonces para cualquier número real c se tiene que cf es integrable sobre [a, b] y .

DEMOSTRACIÓN:

Si c = 0, es evidente

Supongamos que c>0 tomemos , para este valor existe una partición P de [a, b] tal que . Para esta partición se tiene que (por el lema y también para L)

. Luego cf es integrable en [a, b].

Si c < 0 (Por el lema se tiene que ). Ahora para existe una partición P de [a, b] tal que

 luego cf es integrable en [a, b]

Si c>0

Si c<o

Si f es una función integrable en [a,b^] y en [a,b], entonces .

Es una consecuencia de la definición de integral pues si , se tinene que para toda partición de [a,b] y por lo tanto al ser f integrable, se tiene que 

Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] y en [a,b], se tiene que

DEMOSTRACIÓN:

Si se tiene que y por el teorema 8 se tiene que

Si f es una función integrable en [a,b] entonces es integrable en [a,b] y

Definimos las funciónes y de la siguiente forma:

y  , de esta forma se tiene que

Al ser f integrable se tiene que para todo existe una partición tal que , sea el inferior de ,  el superior de este mismo conjunto. ahora bien de donde se deduce que pero si este máximo es 0, entoncesM_i sería negativolo que quiere decir que para todo x de [t_i-1, t_i] y en consecuencia en consecuencia , de la misma forma se tiene que .

Para la partición P anterior, se tiene que:

, luego es integralbe.

Además es integrable al ser suma de funciones integrables, entonces la función es integrable al ser también suma de funciones integrables.

Finalmente se teine que:

  c.c.q.d.

S f es integrable sobre [a, b] y . Entonces

DEMOSTRACIÓN:

y

 luego

Supongamos ahora que f es integrable sobre [a, b]. Podemos definir una función F sobre [a, b] de la siguiente forma:

Si f es integrable sobre [a, b] y F está definida sobre [a, b] por entonces F es continua sobre [a, b]

Por se f integrable en [a, b], y según la definición de función integrable, se tiene que f estará acotada, luego existe un M tal que . Esta expresión es equivalente a .

Sea h>0 , entonces . Aplicando el teorema 11 a esta última integral y teniendo en cuenta que la longitud del intervalo [c, c+h] es h, se tiene que:

o lo que es equivalente a (1).

Sea ahora h<0 entonces

Aplicando el teorema 11 a la integral en intervalo [c+h, c] de longitud -h, se tiene que:

multiplicando por -1 esta expresión tendremos:

equivalentemente a en definitiva queda que : (2), por lo tanto de (1) y (2) se deduce que

tomando se tiene que:

luego F es continua

Sea f integrable [a, b] y se a F la función definida de la forma . S f es continua en c se tiene que F es derivable en c y además F’(c) = f(c).

DEMOSTRACIÓN:

En primer lugar supongamos que . Por definición:

.

Si h>0, .

Sea , entonces por el teorema 11, se tiene que , o lo que es lo mismo

Si   . (1)

Sean . Por el teorema 11 y siendo la longitud del intervalo se tiene que

, multiplicando por -1 se tiene . Por lo tanto de (1) se deduce que: , ahora bien dividiendo todo por h y teniendo en cuenta que h<0, se tiene que . Entonces para todo h, se tiene que . Igualdad que se cumple para cualquier función integrable, sea o no continua. Sin embargo se, puesto que f es continua en c se tiene que Luego se tiene que:

El resultado obtenido es también válido si c<a pues podemos definir la función de aquí  por tanto Por lo tanto el teorema 13 se puede extender al caso en que x<c, pues y entonces

COROLARIO:

Si f es continua en [a, b] y f = g’ para alguna función g, entonces

DEMOSTRACIÓN:

Sea entonces F es derivable y F’ = f =g’ sobre [a, b], por lo tanto F = g + c. Ahora bien F(a) = g(a) + c =0, de donde c = -g(a). Además

TEOREMA 14. REGLA DE BARROW

Si f es integrable sobre [a, b] y existe un función g tal que f = g’, entonces .

Sea P={t₀ , t₁ , ...........t_n } una partición cualquiera de [a, b], por se g derivable, se le puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [t_i-1, t_i] , luego:

. Consideremos como siempre . Luego:

Por lo tanto para toda partición P de [a, b] se tiene que y como es el único número que verifica esta desigualdad para toda partición P de [a, b] se deduce que