Toda probabilidad cumple una serie de propiedades, las cuales se obtienen como consecuencia de los axiomas que debe de cumplir. A continuación vamos a.demostrar las más importantes:

1. P() = 0.

   En efecto: Si consideramos la sucesión infinita

   

   es

   

   por lo que, por el axioma 3, deberá ser:

   

   es decir,

   P(A)=P(A) + P(A_i)

   de donde se deduce que P(A_i)= P(), para todo i=2,...., no debe sumar nada, es decir, debe ser

   P() = 0.
2. Se cumple la aditividad finita para sucesos incompatibles. Es decir,
   

   si A_i A_j= , i j

   En efecto: Basta considerar la sucesión

   

   y aplicar de nuevo el axioma 3 y luego la propiedad anterior, quedando

   

   es decir, la propiedad deseada.

3. La probabilidad del complementario de un suceso A es
P (A') = 1 - P(A)

En efecto: Aplicando primero el axioma 2 y luego la aditividad finita acabada de demostrar, será

P (A U A') = P(Ω) = 1

y

P(A) + P(A') = 1

de donde se obtiene la propiedad propuesta.

4. Si dos sucesos son tales que A B, entonces P(A) <P(B).

   En efecto: B se puede poner de la forma

   B = A (B - A)

   con lo que, por la aditividad finita de la probabilidad, será

   P(B) = P(A) + P(B - A)

   La propiedad enunciada se tendrá ahora como consecuencia de ser P(B - A) > 0 por el axioma 1.

5. La probabilidad de todo suceso A es un número entre 0 y 1:
   0 < P(A) < 1.

   En efecto: De hecho, el que sea mayor que cero es una de las exigencias requeridas para que sea probabilidad (axioma l).

   El que sea menor que 1 se obtiene de la propiedad anterior observando que todo suceso A está contenido en el suceso seguro, A Ω.

6. Si dos sucesos no son incompatibles, la probabilidad de su unión debe calcularse por la siguiente regla:
   P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

   En efecto: Los sucesos A y B se pueden escribir como unión de sucesos disjuntos de la forma,

   A = (A B) (A B') , B = (A B)(A' B)
   

   con lo que, por la propiedad de aditividad finita antes demostrada, será

   P(A) = P (AB) + P (AB') y P(B) = P (AB) + P (A'B)

   es decir,

   P (AB') = P(A) - P(AB) y P (A'B) = P(B) - P (AB).

   Como, por otro lado, A U B se puede expresar como unión disjunta de la forma

   A U B = (AB) U (AB') U (A'B)

   su probabilidad será

   P(A U B) = P (AB) + P (AB') + P (A'B)

   y, sustituyendo los valores antes calculados para los dos últimos sumandos,

   quedará

   P(A U B) = P (AB) + P(A) - P (AB) + P(B) - P (AB)

   o en definitiva,

   P(A U B) = P(A) + P(B) - P (AB)

   como queríamos demostrar.