Probabilidad Condicionada - Sucesos Independientes

  1. Probabilidad condicionada

    Mediante un espacio probabilístico damos una formulación matemática a un fenómeno aleatorio que estemos observando. Parece por tanto razonable que si observamos algo que aporte información a nuestro fenómeno aleatorio, ésta deba alterar el espacio probabilístico de partida.

    Por ejemplo, la extracción de una bola de una urna con tres bolas blancas y dos negras, puede formalizarse con un espacio probabilístico en el que los sucesos elementales sean las cinco bolas y donde la probabilidad sea uniforme sobre estos cinco sucesos elementales, es decir, igual a 1/5.

    Si extraemos una bola de la urna, es decir, si observamos el suceso A bola negra, y no la devolvemos a la urna, es razonable que el espacio probabilístico cambie en el sentido no solo de que ahora ya habrá únicamente cuatro sucesos elementales, sino que además la función de probabilidad deberá cambiar en orden a recoger la información que la observación del suceso A nos proporcionó.

    Es decir, en el nuevo espacio probabilístico deberá hablarse de probabilidad condicionada al suceso A, de forma que se recojan hechos tan evidentes como que ahora la probabilidad (condicionada) de obtener negra se habrá reducido y habrá aumentado la de blanca.

    Las propiedades vistas en el capítulo anterior para las distribuciones (le frecuencias condicionadas llevan a la siguiente definición.

     Definición: 

    Dado un espacio probabilístico (Ω,A,P) y un suceso B A tal que P(B) > 0, llamaremos probabilidad condicionada del suceso A respecto al B a:

    A partir de esta definición podemos deducir que

    P( A B ) = P(A/B) · P(B)

    y como los sucesos A y B pueden intercambiarse en la expresión anterior, será:

    P(A B) = P(A/B)·P(B) = P(B/A)·P(A)

    por lo que tenemos una expresión más para calcular la probabilidad condicionada

  2. Independencia de sucesos

    Existen situaciones en las que la información suministrada por el acaecimiento de un suceso B no altera para nada el cálculo de la probabilidad de otro suceso A. Son aquellas en las que el suceso A es independiente de B. Es decir, cuando

    P(A/B) = P(A).

    Como entonces, por la última expresión de la probabilidad condicionada, es

    y, por tanto, se podría decir que también B lo es de A, hablaremos de sucesos independientes cuando esta situación ocurra. La definición formal que se da a continuación implica estas dos situaciones.

     Definición: 

    Dos sucesos A y B de un mismo espacio probabilístico (Ω, A, P) se dicen independientes cuando

    P( A B ) = P(A) · P(B)




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