Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes.
Representación matricial de un s.e.l.

El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.
También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican:

1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')

2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:

Si r = r' = n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible determinado (una única solución)

Si r = r' < n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.

Resolución de un s.e.l.

a) Regla de Cramer

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).

El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

Ejemplo

b) Por inversión de la matriz de coeficientes

Si A·X = B, entonces X = A-1B.

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.

Ejemplo

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