CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea una función derivable más de una vez.

TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)

Pueden ocurrir los siguientes casos:

  1. La función f tiene en el punto xo un mínimo relativo.
  2. La función f tiene en el punto xo un máximo relativo.
  3. No se puede afirmar nada.


Demostración

  1. Si es creciente en

    La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de xo, luego la función f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mínimo relativo.


  2. Si es decreciente en

    La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de xo, luego la función f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un máximo relativo.

Ejemplo:



Los puntos críticos son:



En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA.
En el punto x1=3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO.

TABLA DE VALORES
X Y
0 3 NADA
3/2 21/16 MÍNIMO