MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f(x) una función y x_o un punto del dominio.

DEFINICIÓN

La función f(x) presenta un máximo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de x_o cuya imagen sea mayor o menor que f(x_o).

A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.

TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)

Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.

La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo.