MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN


Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.

DEFINICIÓN

La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:


La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).

A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.

TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)

Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.


Demostración

Nota

La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

TABLA DE VALORES
X Y
1/2 -1/4 P. Crítico


RESUMEN



Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo.

CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN

CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA DERIVADA

CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª DERIVADA