El número  y
la cuadratura del círculo

Presentación de las actividades

Aproximaciones históricas de

Método de Arquímedes

Curiosidades sobre

La cuadratura del círculo

Actividades ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

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Presentación de las actividades

• Estas son unas actividades que propongo a los alumnos de 4º ESO en el tema de Los números reales y la utilización de la calculadora para operaciones con potencias, radicales, con números en notación científica, etc.

• Para las actividades sobre la cuadratura del círculo, se les recuerda las propiedades sobre ángulos inscritos en una circunferencia y el teorema de la altura.

• Normalmente las realizan en grupo de tres o cuatro alumnos a los que se reparten un fotocopia cuyo contenido es similar al presentado aquí, y también se les reparten calculadoras científicas del departamento.

• Las actividades están insertadas a lo largo del documento, que han de leer antes.

• Como punto de partida se comentan los siguientes textos extraidos de los medios de comunicación:

   * De artículos de prensa:
        ..."Queremos tener agua de la mejor calidad, disponer de energía suficiente para lo que consideramos nuestras necesidades, de formas de transporte, etc. Y queremos todo ello sin que la contaminación nos rodee, o se deterioren de manera irremediable los recursos naturales. Parece la cuadratura del círculo, pero puede tener solución. Eso sí, hay que escoger los agentes adecuados..."

           ..."A pesar de los esfuerzos de los ideólogos para probar la cuadratura del círculo, no
son serias las dudas de que los bombardeos de la OTAN buscan socavar la frágil estructura del derecho internacional."...

    ..."Querer reformar el capitalismo en el marco de las relaciones de producción capitalistas es lo mismo que buscar la cuadratura del círculo."...

 (¿Qué crees que significa la expresión "la cuadratura del círculo" en estos textos?)

• Actividades ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

Aproximaciones históricas del número 

• Una de las figuras geométricas que nos encontramos con más frecuencia es la circular. Un círculo, del tamaño que sea, al dar una vuelta completa describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia. Si se divide dicha longitud entre el diámetro siempre da el mismo valor, el número , el más popular y enigmático de los números.

• Johan Lambert (1728-1777), matemático alemán, demostró que el número  es un número irraccional, o sea que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente, por tanto no se puede expresar como fracción. Sorprende que una figura tan perfecta y bella como el círculo encierre un número como , tan "intratable".

• La irracionalidad de  ha desconcertado desde la antigüedad, por lo que distintas civilizaciones y matemáticos a lo largo de la historia han tratado de estimar con exactitud el valor del número .

• Los antiguos egipcios usaban    como aproximación, según queda registrado en el papiro de Rhind (hacia 1650 a.C.).

• Era una aproximación mejor que la de los hebreos del Antiguo Testamento que usaban la burda aproximación de , como se puede comprobar en el versículo 23 del capitulo 7 del Primer Libro de los Reyes.

• En Babilonia, según queda registrado en la Tablilla de Susa (1600 a. C.) utilizaban como aproximación .

• Bandhayana (India 500 a. C.) utilizaba .
• Los antiguos griegos hicieron un gran esfuerzo por mejorar las estimaciones anteriores, Arquímedes (siglo III a.C.) partiendo de un hexágono regular inscrito y circunscrito en una circunferencia y por duplicación del número de lados (método de exhaucción) llega hasta el polígono de 96 lados, dando una buena acotación: .

• Herón de Alejandría (75 d. C.) utilizó también .
• Más tarde Tolomeo (150 d.C.) pensaba que el valor del cociente buscado era equivalente a ,  influido por sus propios estudios en base 60.

• Wang Fau (300 d.C.) utilizó: .
• Aryabhata (500 d. C.): .
• Una de las mejores aproximaciones históricas del número  fue la del astrónomo chino Tsu Chung Chi (480 d. C.)  dada por el cociente: ,  donde a, b  y c  son cifras diferentes y que tiene con  una exactitud de hasta seis cifras decimales.

• Nicolás de Cusa (1400): .

• El persa Al-Kashi (1429) siguiendo con el método de exhaucción de Arquímedes hasta un polígono de 2833 lados da con una aproximación de dieciséis decimales exactos.

• En Europa F. Vieta (1540) llega con un polígono de 1722 lados a dar una aproximación de nueve cifras exactas.

• Otras aproximaciones:

     *         *Speeht (1836):               * 

      *              *                            * 

      *  Ramanujan (1900): .

• Todos los intentos de calcular el número  realizados en Europa hasta mediados del siglo XVII se fundaron de un modo u otro en el método de Arquímedes. A pesar de la sencillez del método, las estimaciones obtenidas convergen lentamente a . El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) dedicó gran parte de su carrera al cálculo de . Casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 2⁶² lados.  Pidió que, como epitafio, escribiesen en su lápida las cifras de  que calculó. Los alemanes llaman a , número ludolfiano.

• El desarrollo del cálculo diferencial, obra en gran parte de Isaac Newton y Gottfried Leibnitz permitió utilizar series infinitas para calcular más cifras de . En 1665 el matemático inglés John Wallis descubrió la formula:

         ingeniosa pero de convergencia lenta.

• En 1674 Leibnitz dedujo la fórmula ,  de convergencia también muy lenta.

• En 1706, John Machin descubrió la fórmula   donde  , de mejor convergencia con la que pudo calcular las 100 primeras cifras decimales de .

• En 1844, Johan Dase, calculador mental prodigioso, capaz de multiplicar dos números de cien cifras en 8 horas, calculó en cosa de unos meses 205 cifras de  basándose en una variante de la fórmula de Machin.

• El más constante entre todos los que se dedicaron al cómputo de  fue el matemático inglés Willian Shanks. Trabajando durante 20 años obtuvo 707 decimales en 1853. Desdichadamente cometió un error en el 528º decimal, y a partir de él todos los demás estaban mal. El error fue descubierto en 1945, 92 años después.

• A mediados del siglo XX, con la llegada de las computadoras renace el interés por calcular más y más cifras decimales de . En 1942 John Von Neumann utilizando la computadora electrónica ENIAC generó 2037 dígitos en 70 horas.

• En 1957 G.E. Felton trató de calcular 10.000 dígitos; más, por un error de la máquina, solo resultaron ser correctos los 7480 primeros. La meta de los 10.000 cifras la alcanzó el año siguiente F. Genuys, con un ordenador IBM 704.

• En 1961, Daniel Shanks y Jhon Erench,Jr., calcularon 100.000 cifras de  en menos de 9 horas con un ordenador IBM 7090.

• El millón de cifras se rebasó en 1973; Jean Guillod y M. Bouyer realizaron la proeza en menos de un día con un CDC 7600.

• La figura del genial matemático indio Srinavasa Ramanujan (1887-1920) está ligada al número . Descubrió nuevas fórmulas que permiten calcular millones de cifras de .

• En 1986, David Bailey consiguió 29.360.000 cifras decimales de  en un Gray-2 de la NASA con un algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica (cuadruplicación del número de cifras en cada iteración).

• En 1987, centenario del nacimiento de Ramanujan, Yasumasa Kanada y su equipo de la Universidad de Tokyo consiguió más de 100.000.000 de cifras. En años sucesivos Kanada consigue sucesivos récords:

• Pero, ¿por qué esta manía de sacar más y más decimales al número ? Pues, es una forma de poner a prueba la potencia de cálculo de los ordenadores, y con ello se ponen en juego nuevas teorías de los números, abriendo campos inesperados en esta disciplina. Y además, si se hacen records de casi todo, ¿por qué no de las cifras decimales de ?

• Aquí se presenta las primeras 1000 cifras decimales de :

= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
           8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502
           8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
           2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817
           4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
           3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
           8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277
           0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091
           7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960
           8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
           5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083
           8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532
           1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Actividad 2. Utiliza la calculadora para comparar todas las aproximaciones históricas de  referidas anteriormente, ordenándolas de menor a mayor exactitud. Preséntalo en un cuadro como el siguiente:

Aproximación histórica	Hebreos	....	Aryabhata	....	Ludolph-van-Ceulen	....
Valor	3		3'1416		32 cifras exactas
Error	0'141592...		0'000007346...

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Método de exhaucción o de Arquímedes

    Arquimedes mostró gran habilidad para los cálculos numéricos como queda de manifiesto en su estimación aproximada del número  recogida en su tratado "Sobre la medida del círculo".
    Partiendo de un hexágono regular inscrito y circunscrito a una circunferencia, la longitud de la circunferencia L, está comprendida entre el perímetro del hexágono inscrito i₆ y el perímetro del hexágono circunscrito C₆ , i₆<L<C₆ . Duplicando sucesivamente el número de lados de los polígonos,  llega hasta el polígono de 96 lados dando una buena acotación de : 
    Si designamos i₆ , i₁₂ , i₂₄ , i₄₈ , i₉₆ los perímetros de los polígonos regulares inscritos y por C₆ , C₁₂ , C₂₄ ,  C₄₈ ,  C₉₆ los de los polígonos regulares circunscritos, Arquímedes llegó a deducir que:

Calculamos esos perímetros:

      Puesto que en un hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio, aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:

    Si consideramos que el radio de la circunferencia es r=1/2, se tiene que:

y como  L=2r=,     i₆ < L < C₆   o sea que   3<<3'4641....

y utilizando las fórmulas obtenidas por Arquímedes, resulta:

Perímetros          Perímetros polígonos              polígonos inscritos             circunscritos

i6 = 3           <  <  3'4641...= C6

i12 = 3'1058 <  < 3'21539...= C12

i24 =             <  <               = C24

i48 =             <  <               = C48

i96 =             <  <               = C96

•  En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo  para notar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Leonard Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748 lo popularizó definitivamente.

• El número  no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos le confieren una omnipresencia casi mágica.

• En la fórmula de Euler  ,  se relacionan los cinco números más importantes en matemáticas: 0, 1, , e, i. (e=2'718281... número irracional, i=unidad imaginaria, base de los números complejos)

• La probabilidad de que dos números enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es 6/²  ¡Sorprendente! ¡La elección al azar de dos números tiene que ver con !

• El conde de Buffon (1707-1788) tuvo la curiosa idea de estudiar la probabilidad p de que, al lanzar una aguja de longitud l sobre un tablero que tenía dibujadas rectas paralelas equidistantes y separadas por una longitud d (l <d), la aguja cortara a una de las rectas,  es  p=2l/d. Algunos matemáticos como Laplace experimentando con este problema dieron estimaciones de .

• En 1983 Rajan Mahadevan fue capaz de recitar de memoria 31811 decimales de .

          Si en este poema cuentas las letras de cada palabra tendrás las primeras veinte cifras de :

   Esta otra frase nos da las diez primeras cifras decimales de :

• Este programa, en BASIC, para ordenador, nos da fracciones cada vez más proxima a :

        Como estas:  333/106 =3.141509...----> Error< 0'0000833
     84823/27000=3'1415925925... ----> Error<0'000000148
     103283/32876=3.141592651174... ----> Error<0'0000000898
     16924/5387=3.141637... tiene la particularidad que la fracción se escribe utilizando las cifras del 1 al 9 una sola vez sin repetirse.

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La cuadratura del círculo

• Los intentos por determinar  con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo: "Dado un círculo, construir un cuadrado de igual área que el círculo utilizando solamente regla y compás", (la mencionada regla es no graduada que solo sirve para trazar rectas).

• Surgido en la Antigua Grecia, parece ser que el primero que se ocupó, sin éxito, fue Anaxágoras (s. V a. C.) mientras estaba encarcelado en Atenas acusado de impío por sostener públicamente que el Sol no era ninguna deidad, sino una gran piedra al rojo.

• Como el área de un cuadrado de lado l es l² y el área de un círculo de radio r es r² , se  trata de encontrar un l tal que  l² = r², es decir .  Así pues, el problema de la cuadratura del círculo equivale a la construcción de un segmento de longitud .  Este segmento será construible solamente si el número  es construible.

• La solución del problema resistió todos los intentos de muchos matemáticos hasta el siglo XIX. Fue el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852-1939) quien demostró que el número  no es construible al ser un número transcendente ( no es solución de ninguna ecuación algebraica). Después de más de 2200 años, el viejo y clásico problema de la cuadratura del círculo quedó resuelto en sentido negativo, es decir quedó demostrada la imposibilidad de resolver el problema. Pese a ello todavía se sigue intentando.

• Hay otras figuras geométricas que sí se pueden cuadrar, por ejemplo un triángulo equilátero. O sea dado un triángulo equilátero de lado a, se puede construir con regla y compás un cuadrado con la misma área que el triángulo equilátero dado.

Con lo cual .

• En la Antigua Grecia, también se ocupó del problema de la cuadratura del círculo Hipócrates de Chios (s. V a. C.). Se cuenta que era comerciante y que, asaltado y saqueado por piratas, vino a pedir justicia a Atenas, donde frecuentó a filósofos y se convirtió en hábil geómetra. No logró la cuadratura del círculo, sin embargo logró cuadrar algunas lúnulas (figuras planas limitadas por dos arcos de circunferencias de radios distintos), como la que aparece en la figura:

• Tambíen Hipócrates de Chios demostró la cuadratura de las siguientes lúnulas:

Actividad 5. Demuestra que el triángulo rectángulo tiene igual área que las dos lúnulas juntas.

• Dado un triángulo ABC, como el de la figura, se puede construir un rectángulo de la misma área, utilizando solamente regla y compás.

Para ello:
      * Se traza por el vértice C una paralela r a la base AB.
      * Se trazan por los puntos M y N (puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente) rectas perpendiculares a la base AB hasta cortar a la recta r en los puntos  S  y  R, y a la base AB en los puntos P y Q, resultando el rectángulo PQRS.
 

Actividad 6. Dibuja un triángulo y lo anteriormente indicado, y demuestra que el área del triángulo ABC y la del rectángulo PQRS así construido, tienen la misma área.

• Dado un rectángulo ABCD se puede construir un cuadrado de la misma área, o sea se puede conseguir la cuadratura del rectángulo, para ello:

• Una forma de conseguir la cuadratura de un triángulo equilátero es a través del siguiente puzzle:

• En la Antigua Grecia, por la misma época, circuló otros dos problemas clásicos:

El volumen V’  del nuevo altar debe ser  V’=2V=2a³,  si llamamos  a’  la arista de este nuevo cubo, se tiene  V’=a’³ =2a³,  y despejando a’ :  a'= a .

Por tanto el problema de la duplicación del cubo queda reducido a construir con regla y compás el número . También se ha demostrado que el número  no es construible con regla y compás. Por consiguiente, el problema de la duplicación del cubo es, como la cuadratura del círculo, un problema irresoluble.

  Trisección de un ángulo.
“Considerando un ángulo cualquiera, construir con regla y compás un ángulo igual a un tercio del ángulo dado”.
Este es el tercer problema clásico de construcción con regla y compás y que también es irresoluble.
A los matemáticos griegos les resultaba extraño que se pudiera dividir, con regla y compás, un ángulo cualquiera en 2, 4, 8,...  partes y no se pudiera trisecar. (Recuerda el procedimiento para dibujar la bisectriz de una ángulo).
 

• Historia de la Matemática--Carl B. Boyer--Alianza Editorial.
• Historia de la Matemática--J.Argüelles Rodríguez--Editorial Akal
• Más actividaders matemáticas--Brian Bolt--Editorial Labor
• 101 proyectos matemáticos--Brian Bolt--Editorial Labor
• Geometría y experiencias--J. Garcia Arenas, C. Beltrán i Infante--Editorial Alhambra
• Grandes Matemáticos--Investigación y Ciencia--Prensa Científica
• Diversas páginas webs sobre el tema.