El número  y
la cuadratura del círculo


Presentación de las actividades
Aproximaciones históricas de 
Método de Arquímedes
Curiosidades sobre 
La cuadratura del círculo
Actividades ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

 
Página realizada por: Manuel Aguila Varela,
e-mail:  mav10274@averroes.cica.es
I.E.S. San Felipe Neri--MARTOS (Jaén)
Curso de Diseño de Material Didáctico para Internet
SAEM Thales--1999-2000
Ultima actualización: Mayo 2000


Presentación de las actividades
    * Conversación en la serie de TV "Verano azul":
   - Tito: Oye PI has visto que...
    - Piraña: ¡Te he dicho que no me gusta que me llames Pi!, que Pi es tres catorce dieciseis, ...
      (Si Piraña se refiere la númro Pi, ¿crees que es correcto lo que dice?)

   * De artículos de prensa:
        ..."Queremos tener agua de la mejor calidad, disponer de energía suficiente para lo que consideramos nuestras necesidades, de formas de transporte, etc. Y queremos todo ello sin que la contaminación nos rodee, o se deterioren de manera irremediable los recursos naturales. Parece la cuadratura del círculo, pero puede tener solución. Eso sí, hay que escoger los agentes adecuados..."

           ..."A pesar de los esfuerzos de los ideólogos para probar la cuadratura del círculo, no
son serias las dudas de que los bombardeos de la OTAN buscan socavar la frágil estructura del derecho internacional."...

    ..."Querer reformar el capitalismo en el marco de las relaciones de producción capitalistas es lo mismo que buscar la cuadratura del círculo."...

 (¿Qué crees que significa la expresión "la cuadratura del círculo" en estos textos?)

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Aproximaciones históricas del número 
 Actividad 1. Utilizando la calculadora, encuentra ese cociente y compruébalo.
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             *Speeht (1836):               * 

                   *                            * 

      *  Ramanujan (1900): .

         ingeniosa pero de convergencia lenta.
            * En 1989 .......     1.073.740.000 cifras.
            * En 1995 .......     6.442.450.000 cifras.
            * En 1999 ....... 206.158.430.000 cifras.
Actividad 2. Utiliza la calculadora para comparar todas las aproximaciones históricas de  referidas anteriormente, ordenándolas de menor a mayor exactitud. Preséntalo en un cuadro como el siguiente:
Aproximación histórica
Hebreos
....
Aryabhata 
....
Ludolph-van-Ceulen
....
Valor 
3
 
3'1416
 
32 cifras exactas
 
Error
0'141592...
 
0'000007346...
     
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Método de exhaucción o de Arquímedes

    Arquimedes mostró gran habilidad para los cálculos numéricos como queda de manifiesto en su estimación aproximada del número  recogida en su tratado "Sobre la medida del círculo".
    Partiendo de un hexágono regular inscrito y circunscrito a una circunferencia, la longitud de la circunferencia L, está comprendida entre el perímetro del hexágono inscrito i6 y el perímetro del hexágono circunscrito C6 , i6<L<C6 . Duplicando sucesivamente el número de lados de los polígonos,  llega hasta el polígono de 96 lados dando una buena acotación de 
    Si designamos i6 , i12 , i24 , i48 , i96 los perímetros de los polígonos regulares inscritos y por C6 , C12 , C24 ,  C48 ,  C96 los de los polígonos regulares circunscritos, Arquímedes llegó a deducir que:

es decir, los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de doble número de lados vienen dados por las medias armónica y geométrica.

Calculamos esos perímetros:

      Puesto que en un hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio, aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:

    Puesto que los triángulos OAB  y OA'B'  son semejantes deducimos:

    Si consideramos que el radio de la circunferencia es r=1/2, se tiene que:

y como  L=2r=,     i6 < L < C6   o sea que   3<<3'4641....
Si se duplica el número de lados tenemos un dodecágono inscrito y circunscrito:

y utilizando las fórmulas obtenidas por Arquímedes, resulta:

Actividad 3. Prosigue con el método de Arquímedes y completa la siguiente tabla. Comprueba que, aproximadamente, es la acotación encontrada por Arquímedes.
Perímetros          Perímetros
polígonos              polígonos
inscritos             circunscritos
i6 = 3           <  <  3'4641...= C6
i12 = 3'1058 < 3'21539...= C12
i24 =             <  <               = C24
i48 =             <  <               = C48
i96 =             <               = C96
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Curiosidades sobre el número 

          Si en este poema cuentas las letras de cada palabra tendrás las primeras veinte cifras de :

Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

   Esta otra frase nos da las diez primeras cifras decimales de :

         Con 1 hilo y 5 mariposas
           se pueden hacer mil cosas.

             CLS
            e=1:pi=ATN(1)
            for n=1 to 35000
            m=INT(n*pi+0.5)
            f=ABS(m/n-pi):g=f
            if f<e THEN e=f: PRINT m;"/";n; "=";m/n;" --->Error:";g
            NEXT n
            END

        Como estas:  333/106 =3.141509...----> Error< 0'0000833
     84823/27000=3'1415925925... ----> Error<0'000000148
     103283/32876=3.141592651174... ----> Error<0'0000000898
     16924/5387=3.141637... tiene la particularidad que la fracción se escribe utilizando las cifras del 1 al 9 una sola vez sin repetirse.

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La cuadratura del círculo
          Aplicando el teorema de la altura al triángulo ACB, que es rectángulo (C=90º), se tiene:

        Con lo cual .
Actividad 4. Demuestra que el área de la lúnula es la misma que la del cuadrado.
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Actividad 5. Demuestra que el triángulo rectángulo tiene igual área que las dos lúnulas juntas.

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    Ahora habría que conseguir con regla y compás la cuadratura del triángulo. Para ello primero vamos a pasar del triángulo al rectángulo y luego del rectángulo al cuadrado.

Para ello:
      * Se traza por el vértice C una paralela r a la base AB.
      * Se trazan por los puntos M y N (puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente) rectas perpendiculares a la base AB hasta cortar a la recta r en los puntos  S  y  R, y a la base AB en los puntos P y Q, resultando el rectángulo PQRS.
 
Actividad 6. Dibuja un triángulo y lo anteriormente indicado, y demuestra que el área del triángulo ABC y la del rectángulo PQRS así construido, tienen la misma área. 

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            * Se prolonga el lado AB con un segmento igual al lado BC, teniendo el segmento AM.
            * Se toma el punto medio del segmento AM y se dibuja una circunferencia de diámetro AM.
            * Desde el vértice B se traza una perpendicular a AM hasta cortar a la circunferencia dibujada en el punto P.
            * Se dibuja un cuadrado de lado BP.
 
Actividad 7. Dibuja un rectángulo y sigue los pasos indicados anteriormente, y demuestra que el área del rectángulo ABCD y la del cuadrado de lado BP construido, tienen la misma área.
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Con esto hemos conseguido cuadrar un rectángulo, triángulo y la "lúnulas de Hipócrates". También se puede conseguir la cuadratura de cualquier polígono.
Actividad 8. Dibuja en cartulina un triángulo equilátero y las piezas según el dibujo anterior (la base se ha dividido en 4 partes iguales y los otros dos lados en 2 partes iguales, y los segmentos del interior se cortan perpendicularmente).
Recórtalas y forma con ellas un cuadrado. Presenta dicho cuadrado delimitando las piezas.
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     Duplicación del cubo.
    Este problema se originó según la leyenda, en el Oráculo de Delfos. El Oráculo dijo que la epidemia de peste que se extendía por el país acabaría si se duplicaba el tamaño del altar de forma cúbica, dedicado al dios Apolo. Para cumplir los deseos del Oráculo, los arquitectos construyeron un altar cúbico de arista doble que el anterior, pero, de esta forma, se alejaron de los deseos del Oráculo porque el volumen del altar resultó ser ocho veces mayor. Compruébalo.
“Considerando un cubo cualquiera se trata de construir con regla y compás un cubo que tenga exactamente doble volumen que el dado”
Si a es la arista del cubo inicial su volumen es:  V=a3
El volumen V’  del nuevo altar debe ser  V’=2V=2a3,  si llamamos  a’  la arista de este nuevo cubo, se tiene  V’=a’3 =2a3,  y despejando a’ :  a'= a .
Por tanto el problema de la duplicación del cubo queda reducido a construir con regla y compás el número . También se ha demostrado que el número  no es construible con regla y compás. Por consiguiente, el problema de la duplicación del cubo es, como la cuadratura del círculo, un problema irresoluble.

  Trisección de un ángulo.
“Considerando un ángulo cualquiera, construir con regla y compás un ángulo igual a un tercio del ángulo dado”.
Este es el tercer problema clásico de construcción con regla y compás y que también es irresoluble.
A los matemáticos griegos les resultaba extraño que se pudiera dividir, con regla y compás, un ángulo cualquiera en 2, 4, 8,...  partes y no se pudiera trisecar. (Recuerda el procedimiento para dibujar la bisectriz de una ángulo).
 

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Biliografía consultada para la realización de esta página:
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