Combinaciones (ordinarias)
Concepto.-
Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos no ordenados (subconjuntos) seleccionando 3 de ellos de muchas maneras:
Cada grupo decimos que es una combinación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.
No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo.
Fíjate en estas tres cosas.-
Selección: |
|
Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos). |
||||
Orden: |
|
No influye el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene el mismo grupo. |
||||
Repetición: |
|
No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo |
Número.-
El número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por C53 y equivale a:
C53 =
V53
P3
=
5.4.3
3.2.1 = 10
Expresión mediante factoriales.-
| C53 = |
|
= |
|
= |
|
Justificación basada en las Variaciones y Permutaciones
En el apartado dedicado a la Variaciones, se ha estudiado que a partir de 5 objetos {a, b, c, d, e} tomando de 3 en 3 se pueden formar 60 variaciones (grupos ordenados). Dos variaciones pueden estar formadas con los mismos objetos pero en distinto orden, por ejemplo: " b e a " , " e b a " . Estos dos grupos son distintos considerados como variaciones, pero son el mismo considerados como combinaciones, o sea, es la misma combinación, puesto que el orden no se tiene en cuenta.
¿Cuántas variaciones hay con las mismas letras " b e a " y que sólo se diferencian entre sí en el orden en que están escritas? Es decir, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar 3 letras?
P3 = 3! = 3.2.1 = 6
Luego entonces por cada combinación salen 6 variaciones. Como en total hay 60 variaciones, entonces el número de combinaciones debe ser 60 / 6 = 10.
Concepto.-
Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar subconjuntos (no ordenados) tomando m de ellos de muchas maneras:
a1 , a2 , a3 , ..., am
a1 , a2, a4, ..., am , am+1
a7, a13, am , ..., an-1 , an
etc.
Decimos que estos grupos o subconjuntos son combinaciones de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.
Número.-
El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m se denota por Cnm , y equivale a:
Cnm =
Vnm
Pm
=
n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1)
m.(m-1). .... .2.1
Expresión mediante factoriales.-
Cnm =
Vnm
Pm
=
n! / (n-m)!
m!
=
n!
m! (n-m)!