Combinaciones (ordinarias)

Introducción Justificación En general

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos no ordenados (subconjuntos) seleccionando 3 de ellos de muchas maneras:

Cada grupo decimos que es una combinación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

NO

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

NO

No influye el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene el mismo grupo.

Repetición:

SI

NO

No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por C53 y equivale a:

C53 =  

V53


P3

  =  
5.4.3

3.2.1
  =   10

 

Expresión mediante factoriales.-

C53 =  

V53


P3

  =  

5! / 2!


3!

  =  

5!


3! 2!


 

Justificación basada en las Variaciones y Permutaciones

En el apartado dedicado a la Variaciones, se ha estudiado que a partir de 5 objetos {a, b, c, d, e} tomando de 3 en 3 se pueden formar 60 variaciones (grupos ordenados). Dos variaciones pueden estar formadas con los mismos objetos pero en distinto orden, por ejemplo: " b e a " , " e b a " . Estos dos grupos son distintos considerados como variaciones, pero son el mismo considerados como combinaciones, o sea, es la misma combinación, puesto que el orden no se tiene en cuenta.

¿Cuántas variaciones hay con las mismas letras " b e a " y que sólo se diferencian entre sí en el orden en que están escritas? Es decir, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar 3 letras?

P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Luego entonces por cada combinación salen 6 variaciones. Como en total hay 60 variaciones, entonces el número de combinaciones debe ser 60 / 6 = 10.

 


 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar subconjuntos (no ordenados) tomando m de ellos de muchas maneras:

a1 , a2 , a3 , ..., am

a1 , a2, a4, ..., am , am+1

a7, a13, am , ..., an-1 , an

etc.

Decimos que estos grupos o subconjuntos son combinaciones de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Número.-

El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m se denota por Cnm , y equivale a:

Cnm =  

Vnm


Pm

  =  

n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1)


m.(m-1). .... .2.1

 

Expresión mediante factoriales.-

Cnm =  

Vnm


Pm

  =  

n! / (n-m)!


m!

  =  

n!


m! (n-m)!