Combinaciones con repetición

Introducción Justificación En general

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos tomando 3 de ellos, pudiéndose repetir los elementos en un mismo grupo, como por ejemplo:

Cada grupo decimos que es una combinación con repetición de estos 5 elementos de orden 3.

No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

NO

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

NO

No influye el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene el mismo grupo.

Repetición:

SI

NO

Se pueden repetir los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de combinaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por CR53 y equivale a:

CR53 =   C73 =  

V73


P3

  =  

7.6.5


3.2.1

  =   35

 

Justificación basada en las Combinaciones ordinarias

Recurrimos a un artificio para hallar el número CR53 reduciéndolo al caso de las combinaciones ordinarias (véase "Elementos de Análisis Algebraico" de Rey Pastor).

Lo que se hace es establecer una correspondencia biunívoca entre las combinaciones con repetición, de orden 3, de 5 elementos {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }, y las combinaciones ordinarias de orden 3 de 7 elementos {c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7}. Obsérvese que 7 = 5 + 3 - 1.

Esta correspondencia se fundamenta en distinguir entre las diversas posiciones de un mismo elemento repetido, teniendo en cuenta su puesto en la combinación con repetición: incrementaremos el índice de cada elemento en tantas unidades como elementos le preceden en el grupo; es decir: el índice del 1º, 2º, 3º, ...., nº elemento, se aumenta en 0, 1, 2, 3, ..., n-1 unidades. Así, por ejemplo:

a1 a1 a1 ---------> c1 c2 c3
a1 a1 a2 --------> c1 c2 c4
a1 a1 a3 --------> c1 c2 c5
a1 a1 a4 --------> c1 c2 c6
a1 a1 a5 --------> c1 c2 c7
a1 a2 a2 ---------> c1 c3 c4
a1 a2 a3 --------> c1 c3 c5
a1 a2 a4 ---------> c1 c3 c6
a1 a2 a5 --------> c1 c3 c7
a1 a3 a3 --------> c1 c4 c5
a1 a3 a4 --------> c1 c4 c6
a1 a3 a5 ---------> c1 c4 c7
a1 a4 a4 --------> c1 c5 c6
a1 a4 a5 ---------> c1 c5 c7
a2 a2 a2 --------> c2 c3 c4
etc.

Se logra de este modo que los índices resulten todos distintos y crecientes, pues dos elementos consecutivos reciben índices que, por lo menos, difieren en 1.

Así a cada una de las combinaciones con repetición de los 5 elementos "a" se le asigna unívocamente una combinación ordinaria de los 7 elementos "c". Y viceversa, a cada combinación ordinaria de los 7 elementos "c" le corresponde unívocamente una combinación con repetición de los 5 elementos "a".

En consecuencia, el número de combinaciones de uno y otro tipo es el mismo:

CR53 = C73 = 35

 


 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar grupos (no ordenados) tomando m de ellos, pudiéndose repetir, de muchas maneras:

a1 , a1 , a2 , ..., am

a1 , an, an, ..., an , an

a7, a13, am , ..., am , an

etc.

Decimos que estos grupos son combinaciones con repetición de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Mientras que con n objetos solamente se pueden formar combinaciones ordinarias de órdenes 1, 2, 3, .... n; en cambio, se pueden formar combinaciones con repetición de cualquier orden, por grande que sea.

Número.-

El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m se denota por CRnm , y equivale a:

CRnm =   CR mn+m-1 =  

V mn+m-1


Pm

  =  

(n+m-1).(n+m-2). .... .n


m.(m-1). .... .2.1