Permutaciones con repetición

Introducción Justificación En general

Introducción

Concepto.-

Si tengo 3 objetos {a, b, c} , los puedo colocar ordenadamente de manera que la 'a' aparezca 2 veces, la 'b' otras 2 veces y la 'c' 1 sola vez, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Cada uno de estos grupos decimos que es una permutación con repetición de estos 3 elementos.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

NO

Para formar un grupo se toman todos los elementos, no hay que seleccionar unos pocos.

Orden:

SI

NO

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

NO

Hay repetición de los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de permutaciones con repetición de 3 elementos que se repiten 2 veces, 2 veces y 1 vez, teniendo por tanto cada grupo 5 elementos, se denota por P52,2,1 y equivale a:

P52,2,1 =
 

5!

 
 
 
 

2! 2! 1!

 

=

  30

 


 

Justificación

Si los 5 objetos que aparecen en las permutaciones fueran todos distintos, pongamos {a1, a2, b1, b2, c}, en lugar de estar repetidos algunos, evidentemente estaríamos en el caso de las permutaciones ordinarias y el número de grupos sería P5 = 120.

Si en uno de estos grupos cambiáramos el orden de las 'a' entre sí tendríamos una permutación distinta, pero si suprimiéramos los subíndices, entonces sería la misma. Lo mismo podríamos decir de las 'b'. Pero las distintas ordenaciones que se pueden hacer con las dos 'a' y las dos 'b' son 2! . 2! = 4, así que por cada 4 permutaciones ordinarias tenemos una permutación por repetición. Luego el número de estas últimas debe ser 120 / 4 = 30.


 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , ..., an } , los puedo colocar ordenadamente de manera que se repitan r1 veces el primero, r2 veces el segundo, ..., y rn veces el n-simo, formando grupos ordenados que reciben el nombre de permutaciones con repetición.

Número.-

El número de permutaciones con repetición de estos n elementos distintos, teniendo cada grupo k elementos a causa de las repeticiones (siendo k = r1 + r2 + ...+ rn ), se denota por Pkr1,r2...rn y equivale a:

Pkr1,r2...rn =
 

n!

 
 

r1! r2! ... rn!