Variaciones (ordinarias)

Introducción Justificación En general

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos de muchas maneras:

Cada grupo ordenado decimos que es una variación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

NO

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

NO

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

NO

No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por V53 y equivale a:

V53 = 5.4.3 = 60

Expresión mediante factoriales.-

V53 = 5.4.3 =
  5.4.3.2.1  
 
 
 

2.1

  

=

  

5!

2!

 

 

Justificación

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

a _ _
b _ _
c _ _
d _ _
e _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a b _
a c _
a d _
a e _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 4 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 3 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades:

b e a
b e c
b e d

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

 

 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar grupos ordenados de m de ellos de muchas maneras:

a1 , a2 , a3 , ..., am

a1 , a3 , ..., an , a2

a2 , am+1 , ..., a3 , a1

etc.

Decimos que estos grupos ordenados son variaciones de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Número.-

El número de variaciones de n elementos tomados de m en m se denota por Vnm , y equivale a:

Vnm = n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1)

 

Expresión mediante factoriales.-

Vnm =
  n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1).(n-m). .... .2.1  
 
 
 

(n-m). .... .2.1

  

=

  

n!

(n-m)!