Variaciones con repetición

Introducción Justificación En general

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos, pudiéndose repetir los objetos en un mismo grupo, de la manera siguiente:

Cada grupo ordenado decimos que es una variación con repetición de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI
NO

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI
NO

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI
NO

Se pueden repetir los elementos dentro de un mismo grupo

Número.-

El número de variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por VR_₅^³ y equivale a:

VR_₅^³ = 5.5.5 = 5^³ = 125

Justificación

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

a _ _
b _ _
c _ _
d _ _
e _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo otras 5 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a a_
a b _
a c _
a d _
a e _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 5 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x5 = 25 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 5 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades:

b e a
b e b
b e c
b e d
b e e

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x5x5 = 125 posibilidades.

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a₁, a₂ , a₃ , ..., a_n }, puedo formar grupos ordenados de m de ellos, pudiéndose repetir, de muchas maneras:

a₁, a₁ , a₁ , ..., a₁

a₁, a₁ , ..., a₁ , a₂

a₁, a₁ , ..., a₁ , a₃

etc.

Decimos que estos grupos ordenados son variaciones con repetición de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Mientras que con n objetos solamente se pueden formar variaciones ordinarias de órdenes 1, 2, 3, .... n; en cambio, se pueden formar variaciones con repetición de cualquier orden, por grande que sea.

Número.-

El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m se denota por VR_{_n}^{^m} , y equivale a:

VR_{_n}^{^m} = n.n.^{(m veces)}.... .n = n^m