Distancias y ángulos 


1. Producto escalar de vectores

1.1 Módulo de un vector.

1.2 Producto escalar de vectores.

2. Ángulos entre rectas y planos

2.1 Medida de ángulos

2.2. Aplicaciones a la perpendicularidad y al paralelismo

3. Distancia entre puntos, rectas y planos

3.1 Distancia entre dos puntos

3.2 Distancia de un punto a una recta

3.3 Distancia de un punto a un plano

3.4 Distancia entre dos rectas

3.5 Distancia de una recta a un plano

3.6 Distancia entre dos planos



1. Producto escalar de vectores


Es imprescindible para poder estudiar las distancias y ángulos entre rectas y planos, definir previamente el producto escalar de vectores. En todo lo que sigue a continuación vamos a trabajar con bases ortonormales, para facilitar las cosas.

1.1 Módulo de un vector.

Módulo de un vector es su longitud. Para calcularla a partir de sus coordenadas se puede hacer aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.
Si un vector u tiene coordenadas (u1, u2, u3) respecto a una base ortonormal, tiene de módulo:

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular el módulo de un vector.

Propiedades del módulo:

1. El módulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el único vector cuyo módulo es cero.

2.  Donde K es un número cualquiera y u es un vector cualquiera.

3. . Para cualquier pareja de vectores.

1.2 Producto escalar de vectores.

El producto escalar de dos vectores tiene como resultado un número que se calcula según la siguiente expresión:

Propiedades del producto escalar:

1. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo

2. Se puede calcular el coseno del ángulo que forman dos vectores según la expresión:

3. Si u y v son vectores no nulos, se tiene que u es perpendicular a v si y solo si su producto escalar es cero.

4. Conmutativa : 

5. Asociativa: ( K · u) · v = K · (u · v)

6. Distributiva del producto escalar respecto de la suma: u · (v + w) = u · v + u · w

Expresión analítica del producto escalar:

Si las coordenadas de u y de v son respectivamente (u1, u2, u3) y (v1, v2, v3) respecto a una base ortonormal, su producto escalar adopta la siguiente expresión:

u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular el producto escalar de dos vectores

2. Ángulos entre rectas y planos


Para el estudio de ángulos entre rectas, entre planos y entre rectas y planos necesitamos un vector que caracterice fácilmente la dirección de cada uno de ellos. En la recta tenemos el vector de dirección. En el plano el vector perpendicular al mismo.

2.1 Medida de ángulos

La fórmula:

nos permite calcular el coseno del menor ángulo que forman las direcciones dadas por dos vectores . A partir de ésta, con toda sencillez, podemos obtener el ángulo que forman dos rectas, dos planos o una recta y un plano, siempre que conozcamos los vectores característicos de cada uno de ellos.

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular ángulos.

a) Para rectas r y r' con direcciones d y d', respectivamente:

cos ( r, r') = | cos ( d, d')|

b) Para dos planos p y q con direcciones perpendiculares n y n', respectivamente:

cos ( p, q) = | cos ( n, n')|

c) Para una recta r con dirección d y un plano p con dirección perpendicular n:

cos ( r, p) = | sen ( d, n)|

2.2. Aplicaciones a la perpendicularidad y al paralelismo

    Como consecuencia de las anteriores expresiones se obtienen las siguientes propiedades:

    Una recta con dirección d es perpendicular a un plano con vector normal n si los vectores d y n son paralelos, es decir si sus coordenadas son proporcionales.

       
    Una recta con dirección d es paralela (o está contenida en ) un plano con vector normal n si d y n son perpendiculares, es decir, si:
    d1 · n1 + d2 · n2 + d3 · n3 = 0
Dos planos con vectores perpendiculares n y n' son paralelos o perpendiculares si lo son, respectivamente, n y n'.


3. Distancia entre puntos, rectas y planos


3.1 Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P(x1, y1, z1) y P'(x2, y2, z2) es evidentemente, el módulo del vector que los une:

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular distancias entre puntos.

3.2 Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto P a una recta r a la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Es la distancia del punto P a su proyección P', sobre la recta r.

La distancia se puede calcular por dos métodos.

1º En primer lugar debemos hallar el plano p, perpendicular a r que pasa por P. La intersección de p y r es el punto P' buscado, y con él se calcula la distancia.

2º De la recta conocemos un punto R y su dirección, d. El área del paralelogramo de lados d y PR la podemos calcular con el módulo del producto vectorial. Si el área del paralelogramo la dividimos por su base | d | obtenemos su altura.

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular la distancia de un punto a una recta.

3.3 Distancia de un punto a un plano

Como en el caso anterior podemos localizar el punto del plano que esté a menos distancia del punto dado. La distancia del punto al plano viene dada por la distancia entre esos dos puntos.

Si el punto P tinte coordenadas (x0, y0, z0) y el plano tiene ecuación p: ax + by + cz + d = 0, la distancia viene dada por la siguiente expresión:

Desde aquí tienes acceso a un applet para calcular la distancia de un punto a un plano.

3.4 Distancia entre dos rectas

Según la posición relativa que tengan estas dos rectas nos encontramos con las siguientes situaciones:

3.5 Distancia de una recta a un plano

Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero.

Si no se cortan es porque la recta está contenida en el plano (y la distancia es cero) o bien porque ambos son paralelos y por tanto la distancia se puede obtener calculando la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano.

3.6 Distancia entre dos planos

Si los dos planos se cortan la distancia es cero.

Si son paralelos, la distancia viene dada por la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro plano.

 Volver al índice