TEMA 4: LA SUPERFICIE.

 
 

LA SUPERFICIE.

        Todos los cuerpos materiales, sean sólidos, líquidos o gases, tienen una parte exterior y otra interior. Se llama superficie a la parte exterior de los cuerpos.
        Por ejemplo: El sol es una bola de gas incandescente, lo que nosotros vemos es su superficie. La superficie del agua de una piscina es el agua que está en contacto con el aire y con las paredes de la piscina, la superficie de los objetos sólidos que estamos viendo a nuestro alrededor es la parte del sólido en contacto con el aire.
 
 
4.1 Tenemos una bola de plastilina. Si la aplastamos y le damos forma de torta. ¿En cuál de los dos casos es mayor la superficie del trozo de plastilina? 
 
 
 

UNIDADES DE SUPERFICIE

        La unidad de superficie es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. Las unidades de superficie más utilizadas son las siguientes:
 
Nombre
Símbolo
Equivalencia
kilómetro cuadrado
km2
106 m2
hectómetro cuadrado
hm2
104 m2
decámetro cuardrado
dam2
102 m2
metro cuadrado
m2
1 m2
decímetro cuadrado
dm2
10-2 m2
centímetro cuadrado
cm2
10-4 m2
milímetro cuadrado
mm2
10-6 m2
 

Unidades agrarias:

        Las unidades para medir superficies de terrenos se llaman agrarias y son:
 
Nombre
Símbolo
Equivalencia
hectárea
ha
104 m2
área
a
102 m2
centiárea
ca
1 m2
 
 
4.2 Expresa las siguientes medidas de superficie en las unidades que se indican: 
 
 
Objeto
Superficie
Medida en
habitación
 
 
provincia de Soria
 
 
Din A4
 
 
mesa de despacho
 
 
moneda de 100 pts.
 
 
 
 
 
        La medida de la superficie de los cuerpos puede hacerse por comparación directa con la unidad. Por ejemplo para medir la superficie de la mesa podríamos utilizar un cuadrado de cartón de 1 cm de lado y ver cuántas veces cabe en la superficie de la mesa. Sin embargo, la medida de las superficies con formas geométricas regulares, se puede calcular más cómodamente midiendo algunas dimensiones de la figura y usando fórmulas que indican las operaciones que se deben hacer con esas longitudes.
 

ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS
 

Áreas de figuras planas
 
 
4.3 EL CORDEL 
    a) Con un cordel mide seis objetos circulares de distintos tamaños y anota la medida, en centímetros, de la longitud de cada circunferencia. 
    b) Mide los diámetros de dichos objetos de la misma forma y anota también sus medidas en centímetros. 
    c) Efectúa los cocientes: longitud de cada circunferencia entre su diámetro. ¿Cómo son los números que has obtenido? Consulta con tus compañeros y compañeras. 
    d) ¿Qué podrías decir del cociente anterior? 
    e) ¿Cómo se llama el número que has obtenido? 
    f) ¿Sabrías dar una expresión que relacione la longitud de la circunferencia con el diámetro?. ¿Y otra que la relacione con el radio? 
 
 
 

EL NUMERO 

=3,141592653589793238462642... Este poema de Manuel Golmayo te permitirá recordar las veinte primeras cifras de . Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible, soy de los redondos aros.  es un número irracional, no puede ser expresado como una fracción.  ¿Encuentras alguna relación entre el número y el poema?.
 
 
 

TEOREMA DE PITÁGORAS

        Pitágoras nació en la isla griega de Samos hacia el año 569 a.C. Fue un hombre emprendedor que viajó mucho, estuvo en Egipto, Babilonia e incluso en la India. Vivió en la ciudad griega de Crotona en la Magna Grecia (Sur de Italia) y allí fundó la Escuela Pitagórica.

        El teorema de Pitágoras dice que en todo triángulorectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS
 a2 = b2 + c2
Se han publicado hasta 367 demostraciones diferentes de este teorema.

4.4 Actividad:

        Calcula el área de un triángulo equilátero de 2 cm de lado.
 
 
4.5 Un azulejo cuadrado de un dm de lado cuesta 14,35 pts. Se quiere alicatar una pared de 2,57 m por  2,1 m. ¿Cuánto costarán los azulejos necesarios? (no se venden azulejos partidos) 

4.6 Para alicatar una pared se necesitan 880 azulejos de 0,5 dm por 1 dm, que costaron 11.660 pts. Se desea saber: a) ¿Cuánto costó cada azulejo? b) Si la pared tiene 2,5 m de largo ,¿cuánto tiene de alto? 

4.7 En una finca hay 94 frutales. Para fumigarlos cada árbol consume 0,018 litros del producto A y 0,116 litros del producto B. Sabiendo que el litro del producto A vale 1250 pts y el de B vale 160 pts., averiguar cuánto cuesta fumigar la finca. 

4.8. En un semicírculo de 20 cm de radio, se trazan dos cuerdas paralelas; una subtiende un arco de 60º y la otra uno de 120º. Uniendo los extremos más próximos de dichas cuerdas, se tiene un trapecio, cuya área se pide. 

4.9 Los lados de un triángulo miden 3, 4, 5; los de otro miden 6, 8, 10. ¿ Qué clase de triángulos son éstos y cómo son entre sí? 

4.10 Se cambian dos terrenos equivalentes, el primero es un cuadrado de 200 m de perímetro y el segundo es un triángulo de 80 m de base. ¿Cuál es su altura? 

4.11 Hallar el área de un trapecio isósceles que tiene 16 m. de altura y 180 m de perímetro, sabiendo que la diferencia entre las bases es 24 m y uno de los lados iguales mide 20 m. 

4.12 Dado un triángulo equilátero ABC de 6 m de lado, se trazan con ese radio, desde cada vértice, arcos de circunferencia limitados en los otros vértices. Calcular el área de la superficie limitada por esos arcos. 

4.13 La siguiente figura es un rectángulo ABCD de lados 12 m y 8m, E,F,G y H son los puntos medios de los lados del rectángulo y MNPQ es un rombo de diagonales 9 y 6 m. 

Calcular: 
a) Área del rombo MNPQ. 
b) Área del rombo EFGH. 
c) Área de los cuatro triángulos de las esquinas. 
 

4.14 Dado un triángulo escaleno de 80 m2 de área se trazan tres rectas paralelas a la base que dividen a cada uno de los otros lados del triángulo en cuatro segmentos iguales. Se piden: las áreas de las cuatro partes en que queda dividido el triángulo. 

4.15 En un triángulo rectángulo isósceles, ABC (A=90º) con centro en C se traza un arco AM que corta a la hipotenusa en M. Con centro en B y radio BM se traza otro arco que corta al cateto BA en N. Hallar el área del triángulo mixtilineo 

4.16 Si unes los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿qué relación existe entre las áreas de las dos partes en que queda dividido? Razona la respuesta. 

4.17 Se tienen dos circunferencias concéntricas; la cuerda de la mayor tangente a la menor, mide 12 cm. Calcular el área de la corona circular limitada por ambas circunferencias. 

4.18 La base mayor (de un trapecio isósceles vale 46 mm, la base menor 30 mm, y los otros lados 17 mm cada uno. Hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de sus cuatro lados. 

4.19 En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 15 cm y la altura relativa a uno de los lados iguales 9 cm. Calcular el área del triángulo. 

4.20 En un cuadrado ABCD, de 5 m de lado, se toman los segmentos AM = l cm y CN = 1,5 cm. Se une M con N y por A se traza la paralela AP. 

Determinar: 
 a) El área de las tres partes en que ha quedado dividido el cuadrado. 
 b) El área del circulo circunscrito al triángulo APD. 

 
4.21 Se ha adquirido por 3.500.000 pts una finca que levantado a escala 1:500000, ocupa una extensión de 0,28 dm2 . Calcular el valor de una hectárea de ese terreno. 
 

4.22 Calcular el área y el perímetro de la parte rayada de la figura, siendo AB igual a 10 m, ABCD un cuadrado y AMC y ANC arcos de circunferencias de centros B y D respectivamente. 

4.23 Un rectángulo tiene la base 8 cm mayor que la altura. Sobre cada uno de sus lados se ha construido un triángulo equilátero. El perímetro de la figura resultante es de 48 cm; calcula el área del rectángulo. 
 
 
 

 

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